上野竜生です。直線が垂直に交わることを式で表現するとき2つの方法があります。その違いを理解しておきましょう。混同した式を書いてしまうミスを防ぐ方法を述べます。

垂直条件2パターン

直線の傾きの積が-1

直線l1:y=mx+bと、直線l2:y=m’x+b’が垂直に交わる
⇔mm’=-1
広告

内積が0

\( \vec{a} \)と\( \vec{b} \)が垂直
⇔\( \vec{a} \cdot \vec{b}=0\)

これを使う方法もあります。

どちらがいいかは問題にもよります。両方使えるようにしましょう。一番ダメなのは混同することです。たとえば内積が-1とする間違いは絶対にダメです。

もしも逆をやってしまったら・・・?

傾きの積を0にした場合

mm’=0とするとm=0またはm’=0となります。これはどちらかがx軸に平行でないと垂直になれないということになりますがおかしいですね。異変に気付けるようにしましょう。

内積を-1にした場合

こちらはなかなか難しいですが、そもそも内積の式
\( \vec{a} \cdot \vec{b}= | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{\theta} \)を使えばピッタリ-1になるのは難しいということがわかるでしょう。

本来は垂直に交わる⇒\( \vec{a} \)と\( \vec{b} \)のなす角\( \theta \)が90度→
\( \vec{a} \cdot \vec{b}= | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{90°}=0 \)

という考えになります。

 

広告

片方を仮定してもう片方を証明

\( \vec{a}=(a,b) , \vec{b}=(c,d)\)とする。
傾きはそれぞれ\( \displaystyle \frac{b}{a} , \frac{d}{c}\)より
\( \displaystyle \frac{b}{a}\cdot \frac{d}{c}=-1 \)

⇔\(ac+bd=0\)

⇔\( \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \)

となります。

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。