三角形の成立条件と鋭角・直角・鈍角三角形の判定

上野竜生です。3辺の長さが与えられたとき三角形が成立するのか，成立するなら直角三角形か鋭角三角形か鈍角三角形かを判定することについて考えましょう。

言葉の意味

鋭角三角形：すべての角が鋭角(90°未満）である三角形

直角三角形：1つの角が直角(90°)である三角形

鈍角三角形：1つの角が鈍角（90°より大きい）三角形

暗黙の了解と使う知識の確認

以下では三角形の3辺の長さをa,b,c(a≦b≦c）とする。

知識：余弦定理
\( \displaystyle \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)

知識：∠A,B,Cの中で1番大きいのはC（つまりaとbで挟まれた角）

三角形が成立するなら-1<cosC<1

Cが鋭角 ⇔ 0<cosC<1
Cが直角 ⇔ cosC=0
Cが鈍角 ⇔ -1<cosC<0

三角形の成立条件

-1<cosC<1を変形する。

\( \displaystyle -1<\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<1 \)
\( -2ab<a^2+b^2-c^2<2ab \)
\( a^2-2ab+b^2<c^2<a^2+2ab+b^2 \)
\( |a-b|<c<a+b \)

左側の不等式はb-a<cとなるがこちらは必ず成立する。（つまりcosC≧1にはならない）

よって三角形の成立条件はc<a+bであること。

直角三角形の条件

cosC=0を変形する。

\(\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=0\)より

直角三角形の条件は\( a^2+b^2=c^2\)であること。

これは三平方の定理から明らかですね。

鋭角三角形の条件

すべての角が90°より小さいということは1番大きい∠Cが90°より小さければ良いのでcosC>0を変形する。（cosC≧1にはならないのでcosC>0のみで良い）

\(\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}>0\)より

鋭角三角形の条件は\( a^2+b^2>c^2 \)であること。

鈍角三角形の条件

-1<cosC<0を変形する。

\(\displaystyle -1<\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<0\)より

鈍角三角形の条件は\( a^2+b^2<c^2<(a+b)^2 \)であること。

まとめると・・・

最大辺の長さをcとするときc²が

・a²+b²より小さい→鋭角三角形
・a²+b²と等しい→直角三角形
・a²+b²より大きく(a+b)²より小さい→鈍角三角形
・(a+b)²以上である→三角形は成立しない。

今度は辺の大小関係もわからない点に注意です。場合分けして考えましょう。

複雑な割に比較的簡単に復元でき，しかも滅多に出題されないのであまり重点的にやる必要はありません。