素因数分解のやり方・簡単な応用問題

上野竜生です。素因数分解ができない人のために素因数分解の基本と、単純に「素因数分解せよ」という問題以外で簡単な応用問題も紹介します。

素因数分解のやり方

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素因数分解とは

すべての自然数Nは素数p1,p2,・・・,pnと0以上の整数k1,k2,・・・,knを用いて

\(N=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2} \cdots p_n^{k_n} \)

の形で表される。また表し方は順番を除いて1通りに定まる。

素因数分解のやり方

<step1>まず2や3など小さい素数で割れないかチェックする
(→○の倍数判定法を知っていると便利)
同じ素数で2回以上割り切れることも割るので注意
この時点で2a×3b×5c×・・・×(10前後の素数)d×Nの形にまではもっていける。

最後のNが素数なのか,まだ分解できるのかの判定について

<step2>素数かどうか怪しい整数Nについては\(\sqrt{N}\)まで調べて割り切れなければNは素数

このやり方でできます。

例題1:次の数を素因数分解せよ

(1) 3600
(2) 2597
(3) 12626
答え(1)明らかに偶数なので2で割り切れる。 3600÷2=1800
1800も明らかに偶数なので2で割り切れる。1800÷2=900
以下繰り返すと900÷2=450 , 450÷2=225
∴3600=24×225
225は2では割り切れないが3で割り切れる。225÷3=75
同様に75÷3=25で25は3で割り切れない。
∴3600=24×32×25
25は5で割り切れる。25÷5=5 よって25=52なので
3600=24×32×52
(2) 2597は2,3,5では割り切れない。
2597÷7=371  371÷7=53なので7で2回割り切れる。
∴2597=72×53
53が素数かどうかを調べるには\(\sqrt{53} \)まで調べればよい。つまり\(\sqrt{53}\)以下の素数7まで調べて割り切れなければ53は素数。
53は2,3,5,7で割り切れないので素数。よって
2597=72×53
(3) 12626÷2=6313
∴12626=2×6313
6313が素数かどうか調べるには\(\sqrt{6313} \)以下の素数,つまり79以下の素数で順番に割っていけばよい。
順番に割っていくと59で割り切れ、6313=59×107
107が素数かどうか調べるには\(\sqrt{107}\)以下の素数,つまり10以下の素数で順番に割ればいいが,もうすでに確認した。よって
12626=2×59×107

もちろんここまで丁寧に書かなくても結果だけ書けばOKです。ですが脳内ではこのような考えをしているということを知っておきましょう。

素因数分解を効率よくやる方法は今のところありません。結局順番に割るしかないのです。4ケタ程度の素因数分解をする場合,2ケタの素数は知っておくと便利です。以下に100以下の素数を挙げておくので余裕があれば覚えてみても良いでしょう。
<100以下の素数>
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,
59,61,67,71,73,79,83,89,97 (全25個)

例題2

(1) \(\displaystyle \frac{n^3}{126000} \)が整数になるような最小の自然数nを求めよ。

(2) \(\displaystyle \frac{126000}{n^2} \)が整数になるような最大の自然数nを求めよ。

まず大きな数を素因数分解してみましょう。いろいろ気付けるはずです。

答え126000=24・32・53・7である。
n=2a・3b・5c・7d・N (a,b,c,d≧0, Nは2,3,5,7で割り切れない整数)とおける。
(1) \(\displaystyle \frac{n^3}{126000}=\frac{2^{3a}\cdot 3^{3b}\cdot 5^{3c}\cdot 7^{3d}\cdot N^3}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3\cdot 7}\)
なのでこれが整数になるには
3a≧4, 3b≧2, 3c≧3, 3d≧1が必要。よって最小となるのは
a=2, b,c,d=1 ,N=1のとき。
このときn=22・3・5・7=420
(2) \(\displaystyle \frac{126000}{n^2}=\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3\cdot 7}{2^{2a}\cdot 3^{2b} \cdot 5^{2c}\cdot 7^{2d}\cdot N^2} \)
なのでこれが整数になるには
4≧2a, 2≧2b, 3≧2c , 1≧2d, N=1が必要(∵Nは2,3,5,7で割り切れない)
よって最大となるのはa=2, b=1, c=1, d=0 ,N=1のとき
このときn=22・3・5・70=60

大きな値を素因数分解するのも大事ですが求めるnも素因数分解した形でおくと説明しやすくなります。

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