指数関数・対数関数のグラフ

上野竜生です。指数関数のグラフと対数関数のグラフ,それらの性質について紹介します。二次試験でこれらの基本が問われることはほぼないですがセンター試験で問われることがあります。

指数・対数関数のグラフ

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y=axのグラフ

指数関数のグラフ

a>1のときは左の赤いグラフ
0<a<1のときは右の紫のグラフになります。
a0=1なので必ず(0,1)を通ります。
a>1のときは単調増加0<a<1のときは単調減少で、特にa>1のとき\(0<\frac{1}{a}<1\)となりますが\(y=a^x\)のグラフと\(y=(\frac{1}{a})^x\)のグラフはy軸対称となります。
またx軸が漸近線となっています。

y=logaxのグラフ

対数関数のグラフ

a>1のときは左の青いグラフ
0<a<1のときは右の緑のグラフになります。
loga1=0なので必ず(1,0)を通ります。
a>1のときは単調増加。0<a<1のときは単調減少で、特にa>1のとき\(0<\frac{1}{a}<1\)となりますが\(y=\log_{a}{x}\)のグラフと\(y=\log_{\frac{1}{a}}{x}\)のグラフはx軸対称となります。
またy軸が漸近線となっています。

すべてのグラフを重ねると・・・

指数・対数関数のグラフ

4つのグラフは
赤・・・y=ax(a>1。この図ではa=2)
紫・・・y=ax(0<a<1。この図では\(a=\frac{1}{2}\))
青・・・y=logax(a>1。この図ではa=2)
緑・・・y=logax(0<a<1。この図では\(a=\frac{1}{2}\))
そしてグレーはy=xのグラフです。
はy軸対称
はx軸対称ですが
はy=xについて対称となっています。
つまりy=axとy=logaxはy=xについて対称となっています。
よってもy=xについて対称です。
この関係がセンター試験で問われることもあるので知っておきましょう。

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