指数方程式と指数不等式

上野竜生です。今回は指数方程式と指数不等式の解き方を一気に紹介します。

指数方程式と指数不等式

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指数方程式

解法1:底を統一して指数比較(もしくは対数をとる)

あとの解法2でも最後にはこの解法1に帰着されるので超基本解法です。これで解けるパターンは限られていますが基礎の基礎になります。

例題:
(1) 3x=9
(2) \( 4^x = 8\sqrt{2} \)
(3) \( 2^{x+1}=5 \)
答え(1) 3x=32より指数部分を比較するとx=2
(2) [底を2で統一]
\(\displaystyle 2^{2x}=2^{\frac{7}{2}} \)より\( 2x=\frac{7}{2} \)
よって\(\displaystyle x=\frac{7}{4} \)
[4を底とする対数をとるやり方]
両辺は正だから両辺に4を底とする対数をとる
\( \displaystyle x=\log_{4}{8\sqrt{2}} \)
底の変換公式により\( \displaystyle x=\log_{4}{8\sqrt{2}}=\frac{\log_{2}{8\sqrt{2}}}{\log_{2}{4}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4} \)
(3) 両辺は正だから両辺に2を底とする対数をとる
\( x+1=\log_{2}{5} \)
ゆえに\( x=\log_{2}{5}-1 \)

(2)で2パターン紹介してますがどちらも実質同じだと気づきましょう。結局8√2の部分を2の(2分の7)乗に変換することが重要です。
(2)で底を3や5にとる人は流石にいないと思いますが2か4かは少し迷うかもしれません。もちろんどちらでも同じ結果になります。計算しやすいほうでやって最後に整理すればOKです。

解法2:指数部分を丸ごとAとおく

例題:
(1) \( 4^x-3\cdot 2^x+2=0 \)
(2) \( 5^x+5^{2-x}=26 \)
(3) \( 9^x-3^{x+2\log_{3}{2}}-5=0 \)
(1)では4x=(22)x=22x=(2x)2と考えられます。
(2)では\(\displaystyle 5^{2-x}=\frac{25}{5^x} \)と考えるのが重要です。
(3)では指数法則から\( 3^{x+2\log_{3}{2}}=(3^{2\log_{3}{2}})(3^x)\)
となり,さらに対数の定義などから\( 3^{2\log_{3}{2}}=3^{\log_3{4}}=4 \)となります。つまりこの部分は\( 4\cdot 3^x \)となるので3x=Aとおけば4Aと簡単に表現できます。
答え(1) 2x=Aとおく(A>0)
A2-3A+2=(A-1)(A-2)=0よりA=1,2
2x=1,2をそれぞれ解くとx=0,1
(2) 5x=Aとおく(A>0)
\( \displaystyle A+\frac{25}{A}=26\)
両辺にAをかけると
A2+25=26A つまり(A-1)(A-25)=0
A=5x=1,25なのでx=0,2
(3) 3x=Aとおく(A>0)
A2-4A-5=(A+1)(A-5)=0よりA=-1,5
A>0よりA=-1は不適。∴A=5
3x=5をとくと\( x=\log_{3}{5} \)

指数不等式

解法は指数方程式とほぼ同じですが解法1の部分で底が0<(底)<1の範囲にあれば不等式の向きが逆転することに注意です。

解法1

例題:
(1) 1<3x<7
(2) \(\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^x >8 \)
答え(1) 3を底とする対数をとるとlog31<log33x<log37,つまり
0<x<log37
(2) 2を底とする対数をとる
\( \displaystyle \log_2{\left(\frac{1}{2}\right)^x}>\log_2{8}=3 \)
\(\displaystyle \log_2{\left(\frac{1}{2}\right)^x}=x\log_2{\frac{1}{2}}=-x\)なので
-x>3となり,これを解くとx<-3

このように底を1より大きい数で統一するとわかりやすいです。もし(2)で1/2を底にしちゃうと次のようになります。
\( \displaystyle 8=\left( \frac{1}{2} \right)^{-3} \)より
\(\displaystyle \left(\frac{1}{2} \right)^x >\left( \frac{1}{2} \right)^{-3} \)
底は1より小さいから不等号の向きが逆転することに注意すると
x<-3
これは一般に底aが1より小さいときx<y ⇔ ax>ayであることを利用しているのです。底が1より小さい指数関数のグラフをイメージすれば納得できますね。

解法2

指数方程式のときとほぼ同様で解法1に帰着できます。その後で不等号の向きに注意して解法1で解けばOKです。

例題:4x-2x≦2を解け。
答え2x=Aとおく。(A>0)
A2-A≦2,つまり(A+1)(A-2)≦0より-1≦A≦2
A>0より0<A≦2
0<2x≦2を解くとx≦1
オレンジは書いておくと丁寧ですが等号不備などが起きやすくちょっとリスクが高いかもしれません。xの範囲だけならオレンジの部分を飛ばして一気に答えても結果は同じになります。
なお,試験であえて「(1) 2x=tとおく。tの範囲を求めよ」と聞かれることもあり,その場合はオレンジのように0<t≦2と答える必要があります。

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