sinX=sinYなどの方程式の解き方

上野竜生です。sinX=sinYなどのタイプは単位円をかいて簡単に解くことができます。その解法を紹介します。

sinX=sinYなどの三角方程式

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sinX=sinY

明らかにX=Yのとき等号成立します。また2π周期なのでY=X+2nπのときも成立します。

あとは単位円をかいてみましょう。

sinX=sinY

赤い線はy=(sinθ) (xを含まないただの定数関数)です。

図を見ればY=π-Xのときも成立します。ということは2π周期なのでY=(π-X)+2nπのときも成立します。

よってsinX=sinYの解はnを整数としてY=X+2nπ,π-X+2nπとなります。

+2nπは無視するとY=X,π-Xとなります。
図はXが90度未満の時しか考えてませんがその範囲でなくても解が高々2つであることはわかります。
またY=Xは明らかなのであとは1つしかありません。
(Xが90度以上でも)sin(π-X)=sinXなのでこれ以上の解はないとわかるでしょう。
どうしても気になるならXが90度以上の時も図を書いてみましょう。

cosX=cosY

同様です。Y=Xは明らか。図よりY=-Xも解。2π周期なのでcosX=cosYの解はY=±X+2nπ (nは整数)

cosX=cosY

(赤い線は直線x=cosθ)

sinX=cosY

\(\displaystyle \sin{X}=\cos{\left(\frac{\pi}{2}-X\right)} \)より
\(\displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{2}-X\right)}=\cos{Y} \)となり
\(\displaystyle Y=\pm \left(\frac{\pi}{2}-X\right)+2n\pi \)となる。(nは整数)

tanX=tanY

図よりY=X+2nπ,(X+π)+2nπなので整理するとY=X+nπとなります。(nは整数)

tanX=tanY

(赤い線はy=(tanθ)x)

例題

0<x<πとするとき次の方程式を解け
(1) sin2x-sin5x=0
(2) sinx=cos4x
(3) cos2x=-cos5x
答え(1) sin2x=sin5xより5x=2x+2nπまたは5x=π-2x+2nπ
それぞれ解くと\(\displaystyle x=\frac{2n\pi}{3} , \frac{2n+1}{7}\pi \)
0<x<πなので\( \displaystyle x=\frac{2\pi}{3} , \frac{\pi}{7} , \frac{3\pi}{7} , \frac{5\pi}{7} \)
(2)\(\displaystyle \cos{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=\cos{4x} \)より\(\displaystyle 4x=\frac{\pi}{2}-x+2n\pi \)または\(\displaystyle 4x=-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+2n\pi \)
それぞれ解くと\( \displaystyle x=\frac{(4n+1)\pi}{10} , \frac{(4n-1)\pi}{6} \)
0<x<πより\( \displaystyle x=\frac{\pi}{10} , \frac{\pi}{2} , \frac{9\pi}{10} \)
(3) 今までのを応用して解きましょう。
一般にcosX=-cosYの解はY=(π-x)+2nπ , (π+x)+2nπなので
cosX=-cosY赤い線はx=cosθ青い線はx=-cosθ
\(5x=(\pi-x)+2n\pi , 5x=(\pi+x)+2n\pi \)
それぞれ解くと\( \displaystyle x=\frac{(2n+1)\pi }{6} , \frac{(2n+1)\pi}{4} \)
0<x<πより\( \displaystyle x=\frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{2} , \frac{5\pi}{6} , \frac{\pi}{4} , \frac{3\pi}{4} \)

(3)は公式として暗記するのではなく理屈を理解しているかを試す問題となっています。変化球に対応するためには丸暗記ではなく意味を理解することが大切です。なお今回の例題は和積の公式を使っても解くことができます。

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