三角比・三角関数の定義(相互法則や90°-θの関係など)

上野竜生です。三角比・三角関数の定義は覚えるしかありません。90°ーθなどの関係もまとめました。

三角比・三角関数の定義

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三角形の辺の長さに関する定義

三角関数の定義

図のような直角三角形を書いたときの長さが\( \sin{\theta},\cos{\theta},\tan{\theta} \)です。

たとえば\( \theta=45°\)の直角三角形は1:1:\( \sqrt{2} \)の三角形なので

\(\displaystyle \sin{45°}=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos{45°}=\frac{1}{\sqrt{2}},\tan{45°}=1\)となります。

相互法則

左の図で三平方の定理より

\( \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1 \)が成立します。これよりsinかcosのどちらかがわかればもう一方もわかります。

左右の図をよく見比べましょう。左の図は右の図を\( \cos{\theta} \)倍したものなので

\( \sin{\theta}=\tan{\theta}\cos{\theta} \)が成り立ちます。

普通,両辺を\( \cos{\theta} \)で割って

\( \displaystyle \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \)と書きます。

これよりθが90°以下ならばsin,cos,tanのどれか1つがわかれば残りはすべてわかることになりますし,θが90°より大きくても±の違いを除いてすべてわかることになります。

90°-θの三角関数

最初の図の三角形でθも直角も書いていないところの角度は\( 90°-\theta \)です。なので三角形を見る角度を変えれば次の関係が成り立ちます。

\( \sin{(90°-\theta)}=\cos{\theta}\)

\( \cos{(90°-\theta)}=\sin{\theta} \)

\(\displaystyle \tan{(90°-\theta)}=\frac{1}{\tan{\theta}}\)

例題
\(0°<\theta < 90°\)とする。\(\sin{\theta}=0.6 \)のとき\( \sin{(90°-\theta)} \)の値を求めよ。

\( \sin{(90°-\theta)}=\cos{\theta} \) 相互法則より

\( \cos{\theta}=\sqrt{1-\sin^2{\theta}}=\sqrt{1-0.6^2}=\sqrt{0.64}=0.8 \)

90°より大きい三角関数

90°以上の場合は単位円(原点を中心とする半径1の円)を書きます。

90°より大きい三角関数の定義

原点O(0,0),点A(1,0)と単位円周上の点Pに対し∠POA=θとおきます。(反時計回りにとります。たとえばP(0,-1)のとき,θ=270°となります。

このときのPのy座標が\(\sin{\theta} \),x座標が\( \cos{\theta} \)となります。\( \tan{\theta}\)は\(\displaystyle \tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\)で,直線OPの傾きをあらわします

\( P(\cos{\theta},\sin{\theta} ) \)と覚えておくと良いでしょう。

ちなみに反対方向(時計回り)にとるとθは負の値をとる,と考えることもできます。つまりP(0,-1)はθ=270°ですが,θ=-90°と考えることもできます。

この具体例から次のことが言えます。

\(P(0,-1)=P(\cos{270°},\sin{270°})=P(\cos{(-90°)},\sin{(-90°)}) \)より

\( \cos{270°}=\cos{(-90°)}=0 , \sin{270°}=\sin{(-90°)}=-1 \)

90°より大きい角や負の角に関する関係式

この定義から次が言えます。

三角関数の関係 説明図

\( \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta} \)

\( \cos{(-\theta)}=\cos{\theta} \)

\( \tan{(-\theta)}=-\tan{\theta} \)

\( \sin{(180°-\theta)}=\sin{\theta} \)

\( \cos{(180°-\theta)}=-\cos{\theta} \)

\( \tan{(180°-\theta)}=-\tan{\theta} \)

下の3つは加法定理を覚えれば全部一発でまとめられるので無理に覚える必要はないでしょう。

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