整式の計算

上野竜生です。高校で最初にやる式の計算の解説をします。ここは簡単なのでサクっといきましょう!

整式の計算

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四則演算

式の足し算引き算は同類項どうし足します。言葉の説明より具体例のほうがわかりやすいです。

例:\( 6x+3x=9x  ,\\  (5x^2+4x+8)+(3+5x+9x^3)=9x^3+5x^2+9x+11, \\ (5x+3)y+8-7y=(5x-4)y+8  \)

かけ算は分配法則を使います。

例:\( (3x+5)\cdot(2x)=6x^2+10x  ,\\  (3x+5)\cdot 3 =9x+15\)

\( (3x+5)(2x+3)\\=(3x+5)\cdot (2x)+(3x+5)\cdot 3\\=6x^2+10x+9x+15\\=6x^2+19x+15 \)

置き換えて計算すると楽なこともあります。

例題:次の計算をせよ。
\( (x+2y+3)(x+2y+5)-(x+2y-1)(x+2y+8) \)

全部展開すると3項×3項で9項からなる式の展開を2回もしないといけません。しかし問題文にはx+2yがたくさん含まれていることに気付くとx+2y=Aとおくという発想ができます。

答え

x+2y=Aとおく。

\( (A+3)(A+5)-(A-1)(A+8) \\ = (A^2+8A+15)-(A^2+7A-8)\\=A+23 \\=x+2y+23 \)

このように楽に計算できます。

降べきの順に整理しよう

\( x^○\)の形で書いたときの○の部分を次数といいます。その次数が高いほうから式を並べ替えることを降べきの順に整理するといいます。

例題:次の式を[ ]内で書いた文字について降べきの順に整理せよ。
(1)  \( 2+ 5x^3+8x \) [x]
(2) \( x^2+3y^2+5xy+8 \) [x]
(3) \( x^3+2ax^2 +6x+a^3+2a \) [a]

答え(1)\( 2 , 5x^3 , 8x \)の次数はそれぞれ0,3,1なので大きい順に並べ替えて\( 5x^3+8x+2 \)が答え。

(2)次数はそれぞれ2,0,1,0なので大きい順に並べ替えて\( x^2+5yx+3y^2+8 \)が答え

\( 3y^2\)はyについては2次式ですが,xについては0次式です。
xについて整理したことをわかりやすくするために5xyではなく5yxと表記しています。

答え(3)aについての次数はそれぞれ0,1,0,3,1なので並べ替えると

\( a^3 + 2x^2a+2a + x^3+6x\\=a^3+(2x^2+2)a+(x^3+6x) \)

が答え

aについて1次の項\( 2x^2a+2a \)はaでくくって\( (2x^2+2)a \)と表記するほうが良いでしょう。

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