線形計画法に関連する大学入試問題の解き方

上野竜生です。線形計画法に関連する入試問題をよく見ます。大学で学ぶことの基礎ということもあり入試頻出です。解き方を学んでおきましょう。

線形計画法

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線形計画法例題

部品Aと部品Bを使った製品X,Yがある。製品X,Yに部品A,Bが何g入っていて値段がいくらなのかを表した表は下の通りである。

製品 部品A 部品B 価格
X 3 4 500
Y 5 3 600

今製品Zを作るのに部品Aが50g以上,部品Bが41g以上必要であることがわかった。価格を最小限に抑えるには製品X,Yをそれぞれ何個ずつ買えば良いか。

式で表すと・・・

製品Xをx個,製品Yをy個買うとする。条件は

  • 負の数を買うことはできない:x≧0,y≧0
  • 部品Aが50g以上:3x+5y≧50
  • 部品Bが41g以上:4x+3y≧41
  • 価格を最小:500x+600yの最小値

このほかにもx,yは整数という条件もありそうですがここではその条件は外します。

入試問題っぽく書くと・・・

x≧0,y≧0,3x+5y≧50,4x+3y≧41を満たす領域をDとする。点P(x,y)が領域Dの内部または周上を動くとき500x+600yの最小値とそのときのx,yを求めよ。

これが線形計画法です。「線形」ということなので本来はax+byのように1次関数で表されるものに限られるのですが入試では2次関数が混ざったようなものも出題されます。その一方で基本的に2変数しか出題されません。というのも2変数なら図がかけるので図で解くことになるからです。

今回の領域を図でかくと・・・

例の領域

この領域内で500x+600y=kとおいたときのkの最小値を求めます。つまり\(y=-\frac{5}{6}x+\frac{k}{600}\)とDが交点を持つときのkの最小値を求めます。

今回の場合(x,y)=(5,7)のとき最小値6700となります。

入試問題的解法まとめ

このようなタイプが大学入試で出題されたときの手順は次のようになります。

1. 問題となる領域Dを図示する。

2. 最大・最小化したいものを=kとおく。

3. 2.の式をy=・・・に変形し,Dとの交点がある中でkが最大・最小になるものを見つける。(接するときか2直線の交点を通るときか図を見て判断する)

4. 正確な値を計算する(接するときとわかれば接する条件・2直線の交点を通る時なら交点の計算)

この手順が使えるのは2変数だから(図がかけるから)です。一般にn変数の問題だと図がかけないので別のうまいやり方が必要になります。それは大学で習ってください。

例題

x≧0,y≧0,x+2y≦5, 3x+y≦10を満たす領域をDとする。P(x,y)がDの内部または周上を動くときy+x-x2の最大・最小値とそのときのx,yの値をそれぞれ求めよ。

今までと違い線形ではありません(最大化したい関数にx2が含まれている)がやり方は同じです。

答え領域Dを図示すると下の通り。

例題の領域

y+x-x2=kとおくとy=x2-x+k(*)であり,この放物線とDが交わる中でkが最大・最小になる点を探す。

kが最大になるのは(*)と直線x+2y=5が接するときでkが最小になるのは(*)が点(\(\frac{10}{3}\),0)を通るとき。

最大値について(*)をx+2y=5に代入するとx+2x2-2x+2k=5

2x2-x+(2k-5)=0の判別式が0になるとき接するから1-8(2k-5)=0

\( k=\frac{41}{16} \)

このとき方程式の解は\( x=\frac{1}{4} \)であり,これをx+2y=5に代入すると\( y=\frac{19}{8} \)

最小値は\( (x,y)=(\frac{10}{3},0) \)を(*)に代入すると\(k=-\frac{70}{9} \)

以上より

\( x=\frac{1}{4} , y=\frac{19}{8} \)のとき最大値\( \frac{41}{16} \)

\( x=\frac{10}{3} , y=0 \)のとき最小値\( -\frac{70}{9} \)

このように図に頼るのである程度正確な図をかくことが必要になります。

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