2重根号の外し方

上野竜生です。二重根号の外し方を解説します。

二重根号の外し方

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二重根号を外すというより無理やり二重根号を作る,と考えよう

\( (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab} \)の両辺にルートをつけると

\( \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} \)となります。そこで次の公式が得られます。

\( \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} \)
\( \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} (a>b) \)

二重根号の外し方を忘れた!と思ったらここまで戻ってみると良いでしょう。ちなみにa>bとしていますがa<bではダメなのかというと少しややこしくなります。a>bにしましょう。

一応そのややこしいことを書いておきますと

\( \sqrt{X^2}=|X| \)でありXではありません。X≧0なら普通にXでいいのですがX<0のときは-Xになります。a<bのとき右辺は\(\sqrt{a}-\sqrt{b}<0\)になってしまうので全体にマイナスをつけて\( -(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \)となります。結局何が言いたいかと言うと大きいほうから小さいほうを引くのです。それを一言でいうと最初に書いたa>bなのです。

例題1

次の二重根号を外せ
(1) \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)
(2) \(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)
(3) \(\sqrt{16+6\sqrt{7}}\)

(1)公式と比較してみましょう。

a+b=8, ab=15なのでa=5,b=3(もしくはその逆です。逆でも全く同じ答えになるのでa>bの場合だけでいいです)

よって\( \sqrt{5}+\sqrt{3} \)が答えです。

(2)a+b=7 , ab=10なのでa=5,b=2です。もしここでa=2,b=5としてしまうと答えは

\( \sqrt{2}-\sqrt{5}\)となりますがこれは0より小さくなっておかしくなります。ルートの計算結果は0以上なのでa>bになるように値を求めましょう。a=5,b=2なので答えは

\( \sqrt{5}-\sqrt{2} \)となります。

(3)このままでは公式を使える形ではありません。そこで無理やり変形します。

\( 6\sqrt{7}=2\sqrt{63} \)なので

\( \sqrt{16+6\sqrt{7}}=\sqrt{16+2\sqrt{63} }\)

こうなればa+b=16, ab=63なのでa=9,b=7と求まります。

よって答えは\(\sqrt{9}+\sqrt{7}=3+\sqrt{7} \)となります。

少し変わった問題を出題してみます。

例題2

\( \sqrt{4+\sqrt{7}} \)の二重根号を外せ

\( \sqrt{7}=2\sqrt{\frac{7}{4}} \)ですがそう考えるなら最初から全体を\( \frac{1}{2}\)でくくるほうが楽です。

\(\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{4+\sqrt{7}}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{16+4\sqrt{7}}=\frac{1}{2}\sqrt{16+2\sqrt{28}} \)

a+b=16, ab=28よりa=14,b=2

よって\(\displaystyle \frac{1}{2}( \sqrt{14}+\sqrt{2} )\)

いかがでしょうか。少しパズル的な要素もありますがパターンはそれほど多くないのですぐにマスターできるはずです。

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