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上野竜生です。今回は4点が同一円周上にある条件を紹介します。同一円周上にあることがわかればいろいろな情報が増えるので共通テストでも使うことがあるかもしれません。

円周角が等しいor対角の和が180°ならば同一円周上

共円条件(円周角の定理)

図において
∠a=∠bならば同一円周上
∠c+∠d=180°ならば同一円周上
∠c=∠eならば同一円周上にある。(円は図に書き込んである円)

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方べきの定理

共円条件(方べきの定理)

AE・CE=BE・DEならば4点A,B,C,Dは同一円周上にある。

当たり前のように見えますが実際のテストでこれらを見つけるのは非常に難しいです。練習しましょう。

例題1

(1)図において三角形ABCの辺BC,AB,AC上に点D,E,Fをとる。3点E,B,Dを通る円とF,D,Cを通る円の交点をGとするとき4点A,E,G,Fは同一円周上にあることを示せ。
(2)円Oとその外部にある点Rがある。RからOに2つの接線をひき接点をP,Qとする。Rを通り,円Oと異なる2点で交わるような直線を引き,交点をA,Bとする。PQとROの交点をSとするとき4点A,B,S,O(円の中心)は同一円周上にあることを示せ。
共円条件(例題)
答え(1)∠GDB=θとおくと4点EGBDは同一円周上にあるから∠BEG=180°-θ
∴∠AEG=θ・・・①
∠GDC=180°-θであり,4点FGDCは同一円周上にあるから∠GFC=θ
∴∠AFG=180°-θ・・・②
①②より∠AEG+∠AFG=180°だから4点A,E,G,Fは同一円周上にある。
(2)方べきの定理よりRA・RB=RP2・・・①
△ORP∽△PRS(∵∠ORP=∠PRS,∠OPR=∠PSR=90°)より
OR:RP=PR:RS
よってRP2=OR・RS・・・②となり,①②より
RA・RB=RO・RSだから方べきの定理の逆より4点A,B,S,Oは同一円周上にある。
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例題2

三角形ABCにおいてAからBCにおろした垂線の足をD,BからACにおろした垂線の足をEとし,ADとBEの交点をGとする。ABの中点をFとすると3点F,G,Cは同一直線上にあった。
BD=2,DC=3のとき,ABを求めよ。
共円条件例題2
答えGは垂心なのでCF⊥AB
∠AFC=∠ADC=90°なので4点A,F,D,Cは同一円周上にある。
方べきの定理より
BD・BC=BF・BA
BF=xとおくとBA=2xなので
2x2=10
よって\(x=\sqrt{5} \)
求めるものは\(2x=2\sqrt{5} \)

問題文に円がかかれていませんが同一円周上にあることがわかれば円の性質も使える例です。「同一円周上であることを示せ」という証明問題は共通テストで出ませんがどれが同一円周上にあるかを選ぶ問題や,例題2のようにそのあとで円の性質を使う問題であれば共通テストでもよく出てきます。

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