三角形の内接円の方程式の求め方

上野竜生です。三角形の内接円の方程式の求め方を紹介します。

内接円の方程式

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三角形の内接円の方程式を求める3つの考え

内接円の性質を利用します。

1) 3つの内角の2等分線の交点が内心である。
2) 内心から辺までの距離(=内接円の半径)が等しい
点と直線の距離の公式が使える
3) 三角形の面積の表し方を2通りで表し,内接円の半径を求める

内角の2等分が明らかな時は1)を使うこともありますが,明らかでないとき立式するには2)のやり方が1番得策です。いくつか例を見ましょう。

以下では内心をI,内接円の半径をrとします。

例1: O(0,0), A(3,0), B(0,4)とするとき△OABの内接円の方程式

わかりやすい直角三角形です。∠O=90°なので二等分線は45°のところ,つまりy=x上に内心があります。

さらに△OABの面積を2通りで表すことによりrがわかるので直角三角形であることを使えば内心はI(r,r)であることから割と簡単に求まります。
内接円の方程式が簡単に求まる場合

答え△OABの内心をI,内接円の半径をrとする。

△OAB=△OAI+△OBI+△ABIより
\( \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4= \frac12 \cdot 3r + \frac12 \cdot 4r+ \frac12 \cdot 5r\)

これを解くとr=1

∠O=90°より内心は角の二等分線上にあるから∠IOA=45°

内心はy=x上にあり,∠O=90°の直角三角形だからI(r,r)=(1,1)

よって内接円は(1,1)を中心とする半径1の円であり,その方程式は

(x-1)2+(y-1)2=1

このような工夫ができるのは特殊な三角形のときのみで一般には次の例2のように解きます。

例2: O(0,0) ,A(14,0),B(5,12)とするとき△OABの内接円の方程式

角の二等分をtanの加法定理などでやることもできますが大変です。性質2を使い,点と直線の距離の公式に持ち込むのが楽でしょう。
内接円の方程式を求める(一般の場合)

答え内心をI(X,Y),内接円の半径をrとする。Iは内心より

「点Iと直線OA(y=0)の距離」=「点Iと直線OB(12x-5y=0)の距離」=「点Iと直線AB(4x+3y=56)の距離」=rだから

\(\displaystyle |Y|=\frac{|12X-5Y|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\frac{|4X+3Y-56|}{\sqrt{4^2+3^2}}=r \)

内心は△OABの内部にあるからY>0 , 12X-5Y>0 4X+3Y-56<0

よって
\(\displaystyle Y=\frac{12X-5Y}{13}=\frac{56-4X-3Y}{5}=r \)

これを解くと\( Y=r , X=\frac{3}{2}r ,r=4 \)

つまりI(6,4),r=4となるから内接円の方程式は

(x-6)2+(y-4)2=16

赤字部分は絶対値の場合分けをせずにすむ工夫ですね。
この問題でも三角形の面積を2通りで表し,先にr=4を求められます。
するとOAがx軸上にあることから内接円のY座標はrと等しく4とわかり,次の式を解けばいいことになります。(点と直線の距離の公式にY=r=4を代入したもの)
\(\displaystyle \frac{|12X-20|}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}=\frac{|4X+12-56|}{\sqrt{4^2+3^2}}=4 \)ですが今回はより一般の三角形でもできる手法を紹介しています。

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