三角形の面積比

上野竜生です。三角形の面積比は線分比と密接な関係があります。これについて紹介します。

三角形の面積比

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基本は三角形の面積の公式

三角形の面積の基本の公式は「底辺×高さ÷2」

ということは「底辺」「高さ」が等しい三角形の面積は等しいですし「高さ」が等しければ面積比は「底辺」の比になります。

「高さ」が一定なら面積比は「底辺」の比

面積比図1

図においてBC:CD=m:nとすると△ABC:△ACD=m:n

このような使われ方をします。割と応用が広く効きます。

同様に「底辺」が一定なら面積比は「高さ」の比です。こちらはあまり使われることはありませんが一応知っておきましょう。

間の角が一定なら面積比はその角をはさむ2辺の積の比

面積比図2

図において△ABC:△ADE=AB×AC : AD×AE

[証明1] 三角関数を使った面積の公式より

\(△ABC:△ADE \\ =(\frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin{∠BAC}):(\frac{1}{2} AD \cdot AE \cdot \sin{∠DAE})\\ =(AB\cdot AC ):( AD \cdot AE) \)

[証明2] 補助線BEを引く。△ABCの面積=Sとおく。

△ABE:△BEC=AE:EC (底辺をACと見れば高さが同じ)なので\(△ABE= \frac{AE}{AC}S \)

△EAD:△EDB=AD:DB (底辺をABと見れば高さが同じ)なので

\(△ADE=\frac{AD}{AB}△ABE=\frac{AD}{AB}\cdot \frac{AE}{AC} S \)

よって\(△ABC:△ADE=S:(\frac{AD}{AB}\cdot \frac{AE}{AC} S) = (AB\cdot AC): (AD \cdot AE) \)

証明2があるので実は小学生でも(中学入試レベルでも)解けます。とりあえず毎回証明を考えるのは大変なので結果を覚えるなどしてすぐに使えるようにしておいてください。

練習問題

図の△ABCにおいてABを1:2に内分する点をD , BCを1:3に内分する点をE , CAを2:3に内分する点をFとする。
(1) △ABC:△ADFの面積比を求めよ。
(2) △ABC:△DEFの面積比を求めよ。
面積比例題の図

補助線がなくても解けるようにしましょう。(2)は(1)と同様にして△BED , △CFEも求めて全体から引けば△DEFになります。

答え(1) △ABC=Sとおく。
△ADF= \(\frac{AD}{AB}\cdot \frac{AF}{AC}S=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}S = \frac{1}{5}S \)
よって△ABC:△ADF=5:1
(2) 同様にすると
△BED=\( \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}S = \frac{1}{6}S \)
△CFE=\(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}S=\frac{3}{10}S \)
よって△DEF=△ABC-△ADF-△BED-△CFE
\(=S-\frac{1}{5}S – \frac{1}{6}S – \frac{3}{10}S = \frac{30-6-5-9}{30}S=\frac{1}{3}S \)
∴△ABC:△DEF=3:1

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