上野竜生です。式の割り算を筆算でできると思いますがスペースがもったいないです。1次式で割る時はもっと省スペースでできる計算方法があります。なくても困りませんが一応知っておきましょう。

組立除法

1次式で割り算

例題：x3+3x2+5x+7をx+2で割ったときの商と余りを求めよ。

今まで通り筆算で計算すると下のようになります。

割り算の筆算

よって答えは商がx2+x+3，余りが1となります。

 

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組立除法のやり方

多項式f(x)をx-αで割った商と余りを求める方法
1.　f(x)を降べきの順に整理し，係数を並べる。
2.　右上にαを書き区切り線をいれる。

3.　下に線を引く。
4.　１番左の数字をそのまま写す。

5.　その数字をα倍したものを右斜め上に書き，その上の数字との和を下に書く。
6.　これを定数項まで繰り返す。
7.　線より下に書かれている数字のうち１番右にかかれているものがあまり，それ以外の部分が商である。

このように言葉では非常にわかりにくいので例題について少しずつ図で示します。

組立除法のやり方

 

このような感じでやっていきます。

これが正しいことの証明（3次式のとき）

ax3+bx2+cx+dをx-αで割った商と余りを筆算と組立除法でやり，一致することを確かめればよい。

組立除法と筆算の一致の証明

よって成立。n次式のときも同様。

組立除法の最後の行がちょっとみにくいですが左から
a , b+aα, c+bα+aα2　, d+cα+bα2+aα3
と書いています。
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練習

少し変わった計算方法なので練習しないと絶対に間違います。2つほど練習してみましょう。

例１：　x4+3x2+5x-9をx-4で割った商と余りは？

例１　組立除法

×のような計算をしないようにしましょう。x3の係数0を書き忘れると答えが間違います。

右のように計算し，答えは商：x3+4x2+19x+81　余り315となります。

例２：　x3+ax2+(5a-1)x+6をx+1で割った商と余りは？

例２　組立除法

よって答えは商x2+(a-1)x+4a　余り-4a+6となります。

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