弧度法

上野竜生です。角度を表すときは60°などの度数法で表すのが普通でした。しかし,これからは弧度法で表したほうが便利なこともあります。そこで弧度法を学習しておきましょう。

弧度法

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弧度法の定義

半径1の扇形で弧の長さが1の中心角を1radという。radはラジアンと読む。

つまり180°=πrad(円周率)

1radは\( (\frac{180}{\pi}) \)°≒57.2958°

度数法と弧度法の変換はただの比例計算です。つまりたとえば45°が何radか知りたければ

180°:πrad=45°:?rad

を計算すれば良いのです。(45°=\(\frac{\pi}{4}\)rad)

練習問題

xを弧度法とするときxが十分小さければsinx≒xと近似できる。
このときsin0.01°にもっとも近い値は次のうちどれか?
① 0.00017
② 0.01
③ 0.57

答え0.01°を弧度法に直せばいいということがわかる。

0.01°=0.01×\( \frac{\pi}{180} \)rad≒0.00017rad

よって①

とりあえずは有名角30°や45°などが弧度法になれば問題ないでしょう。

1周=360°=2π rad を覚えておきましょう

扇形の弧の長さと面積

弧度法の定義が扇形の弧の長さでやっているので当然扇形の弧の長さや面積を求めるときに便利になります。

xを弧度法で表された角度とする。
(i) 半径r,中心角xの扇形の弧の長さはrx
(ii) 半径r,中心角xの扇形の面積は\( \frac12 r^2x \)

今後あまり出てこないので暗記しなくても復元できれば十分です。復元するためにはある程度性質を理解したいところです。

(i) 定義より半径1,中心角1radの弧が1
半径を2倍,3倍にすると弧の長さは2倍3倍・・・となるはずだからrに比例する。
中心角を2倍,3倍にすると弧の長さは2倍3倍・・・となるはずだからxに比例する。
よって弧の長さはrx

などと覚えておけばややこしくなることはないでしょう。

(ii) 1周2π radに対してx radがどのぐらいの割合を占めるかは\( \frac{x}{2\pi} \)

よって面積は\( \pi r^2 \cdot \frac{x}{2\pi}=\frac{1}{2} r^2 x\)

弧度法x radの中にπのニュアンスが含まれているので扇形の弧や長さの公式にπは現れません。

例題:次のものを求めよ。
(1) 半径3,中心角1radの扇形の弧の長さ
(2) 半径5,中心角0.4radの扇形の面積
(3) 中心角0.5rad,弧の長さ4の扇形の面積
答え(1) 3×1=3
(2) 52×0.4÷2=5
(3) 半径をrとすると0.5r=4 ∴r=8
面積は82×0.5÷2=16

こんなことして何が嬉しいの?

と思うかもしれませんが今後の微分積分という分野ではこのように直しておく方が非常に見やすくなります。さきほどのsinxの例だと

xが弧度法ならsinx≒\(\displaystyle x-\frac{x^3}{6} \)などと書けるのですが度数法だったら

sinx°≒\(\displaystyle \frac{\pi x}{180}-\frac{\pi^3 x^3}{6 \cdot 180^3}\)などとなり

複雑になります。今のうちから弧度法に慣れておきましょう,ということです。

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