aのb乗の桁数・最高位の数字の計算方法

上野竜生です。常用対数の問題でaのb乗の桁数や最高位の数・一の位を求めさせる問題があります。この解き方は一度習わないと思いつきにくいので教えておきます。

桁数・最高位の数・一の位

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桁数を求める

例題:\( 3^{1000} \)は何ケタの整数か?ただし\( \log_{10}3=0.4771 \)とする。

この問題の考え方を理解しましょう。

1ケタの整数とは1~9(1≦x<10)
2ケタの整数とは10~99(10≦x<100)
3ケタの整数とは100~999(100≦x<1000)
・・・と考えると
nケタの整数は\(10^{n-1}\)~\(10^{n}-1\)

と書けます。\( 3^{1000}\)は明らかに整数なので\( 10^{n-1} \leq 3^{1000} < 10^n \)を満たす整数nを見つければ答えがnであることがわかります。この式は指数関数なので対数をとれば簡単に計算できると気付きます。そこで解答は次のようになります。

答え

\( 10^{n-1} \leq 3^{1000} < 10^n \)を満たす整数nを見つければ答えがn桁だとわかる。
両辺の常用対数をとる。

\( n-1 \leq 1000 \log_{10}3 <n \)

\( \log_{10}3=0.4771 \)よりn-1≦477.1<n

これを満たす整数はn=478 よって478ケタ

慣れればいきなり常用対数をとり、小数部分を切り上げたものが答えだとわかります。しかし記述式では最初か最後に10^nで挟む式を残すようにしましょう。
逆にこの工程を書かずに477.1だから477ケタとする間違いは禁物です。

最高位の数を求める

\( 2^{105}\)の最高位の数は何か?ただし\( \log_{10}2=0.301 \)とする。

先ほどと同様に考えると\( \log_{10}2^{105}=105\log_{10}2=105 \cdot 0.301=31.605 \)を使うことは想像できますがここからどうするか考えてみましょう。

最高位の数字が1であるnケタの数X・・・\( 1 \cdot 10^{n-1} \leq X < 2 \cdot 10^{n-1} \)
最高位の数字が2であるnケタの数X・・・\( 2 \cdot 10^{n-1} \leq X < 3 \cdot 10^{n-1} \)

・・・と考えると

最高位の数字がaであるnケタの数X・・・\( a \cdot 10^{n-1} \leq X < (a+1) \cdot 10^{n-1} \)

となることがわかります。さらにこれの常用対数をとれば

Xが最高位の数aのn桁の整数である
⇔\( n-1 + \log_{10}a \leq \log_{10} X < n-1+\log_{10}(a+1) \)

という関係式が成り立つことが分かります。つまり桁数の時は常用対数の整数部分に着目していたのに対し、最高位の数を求めるときは小数部分に気を付けることになります。

それではここで模範解答を見ていきましょう。

\( \log_{10}2^{105}=105\log_{10} 2=31.605\)
\( 31+\log_{10} 4= 31.6020  ,  31+\log_{10} 5=31.6990 \)より

\( 31+\log_{10}4 \leq \log_{10}2^{105} < 31+\log_{10} 5 \)

つまり、\( 4\cdot 10^{31} \leq 2^{105} < 5\cdot 10^{31} \)が成立するので最高位の数字は4

このように求めることができます。この問題ではたまたま\( \log_{10} 4 , \log_{10}5 \)が計算できましたが計算できないと問題としてかなり厳しくなります。これについては最後に応用問題を残しておきます。

最高位の数字 小数部分
1 0から0.3010まで
2 0.3010から0.4771まで
3 0.4771から0.6020まで
4 0.6020から0.6990まで
5 0.6990から0.7781まで
6 0.7781から0.8450まで
7 0.8450から0.9030まで
8 0.9030から0.9542まで
9 0.9542以上

多くの問題では\( \log_{10}2 , \log_{10}3\)の値が与えられています。よって斜体になっている値以外は計算可能になります。(つまり\( \log_{10}7\)の値が与えられないと最高位の数字が6や7になる問題は出題しにくい

一の位について

これは簡単です。任意の整数nについてnとnの5乗は一の位が一致するので最悪でも周期4で循環します。規則性を利用しましょう。

nの一の位 下1ケタの移り変わり
1 1→1→1→1→1
2 2→4→8→6→2
3 3→9→7→1→3
4 4→6→4→6→4
5 5→5→5→5→5
6 6→6→6→6→6
7 7→9→3→1→7
8 8→4→2→6→8
9 9→1→9→1→9

最後の難問

ずばり、対数の値が不等式で与えられた場合と、先ほどのような単純ではない例を出します。

\( 3^{87}\)の桁数・最高位の数・一の位を求めよ。ただし\( 0.4771<\log_{10}3<0.4772\)とする。

桁数と一の位の答え

一の位:3のn乗は1の位が3→9→7→1を循環する。87÷4=21あまり3より3の3乗と一の位は等しく7

記述式では合同式を使って書くのが良いでしょう。
\( 3^{87}≡(3^4)^{21}\cdot 3^3≡81^{21} \cdot 27 ≡1^{21} \cdot 7≡7(mod10)\)

桁数:答えを出すだけならいいですが結局は10^nで挟む必要があるので不等式を上手に利用します。

\( 41.5077<87\log_{10}3<41.5164 \)より\(41<87\log_{10}3<42\)

よって\( 10^{41} < 3^{87} <10^{42}\)となり42桁

最高位の数字の答え

小数部分が0.51程度なので最高位の数字は3より大きいです。問題文には与えられていませんが\(\log_{10}2=0.301\)を使うと最高位の数字は4以上にはなれないと予想はできます。しかしそのことは使えません。なんとかして\( \log_{10}3\)のみで挟み込む工夫が必要です。3.333・・・=10÷3なのでこのlogと比較できないかひらめけばゴールは目前です。

\( 41+\log_{10}3<41.4772<41.5077<87\log_{10}3\)より

\(3\cdot 10^{41}<3^{87} \)だから最高位の数字は3以上である。

\( 87\log_{10}3<41.5164<41.5228 <42-\log_{10}3 \)より

\(3^{87}<\frac{10}{3}\cdot 10^{41}<3.34 \cdot 10^{41}\)より最高位の数字は3以下である。

よって最高位の数字は3

いかがでしたか?応用問題はいくらでも作れます。最後の難問タイプの場合,誘導があることが多いと思いますのでどこかで見たことあるな・・・と思ったらこれを思い出してみてください。

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