三角関数の加法定理の証明

上野竜生です。今回は三角関数の加法定理の証明を中心に扱います。加法定理の適用はまた別のページで行います。

加法定理の証明

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三角関数の加法定理

\( \sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\)・・・①

\( \sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)・・・②

\( \cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\)・・・③

\( \cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\)・・・④

\(\displaystyle \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}\)・・・⑤

\(\displaystyle \tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}\)・・・⑥

証明は教科書にも載ってるレベルですが,東大入試にも出題されたことがあるようなので証明だけをここで扱っていこうと思います。

基本的には①~④のうちの1つが示せたらあとは同様に示せます。ということでまずはどれかを仮定してそこから他の物を導きます。

①⇒② の証明(②⇒①,③⇒④,④⇒③,⑤⇒⑥,⑥⇒⑤も同様)

①のβに-βを代入する

\( \sin{\{\alpha+(-\beta)\}}=\sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \)

①⇒③の証明(③⇒①も同様)

\( \cos{\theta}=\sin{(\frac{\pi}{2}-\theta)} , \sin{\theta}=\cos{(\frac{\pi}{2}-\theta)}\)を使う。

①の\( \alpha \)に\( \frac{\pi}{2}-\alpha\) を,\( \beta \)に\( -\beta \)を代入すると

\( \sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta)}=\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\cos{(-\beta)}+\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\sin{(-\beta)} \)

つまり

\( \cos{(\alpha+\beta)}=\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\cos{\beta}-\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\sin{\beta}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \)

ここまでで①~④の1つがわかれば残りの3つがわかり,⑤か⑥の1つがわかれば残りの1つがわかることが証明できました。残りは(①~④)から(⑤⑥)の証明です。

(①かつ③)⇒⑤ の証明((②かつ④)⇒⑥も同様)

「①かつ③」と書いてますが①がわかれば③もわかるし,③がわかれば①もわかるので「①または③⇒⑤」を示しているのと同じです,

\( \displaystyle \tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\sin{(\alpha+\beta)}}{\cos{(\alpha+\beta)}}=\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}} \\
\displaystyle =\frac{\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\cdot 1+1\cdot \frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}{1-\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\frac{\sin{\beta}}{\cos{\beta}}}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}\)

となります。(途中,分母分子をcosαcosβで割った。)

ということで①~④のうちどれか1つを示せば良くなりました。どれを示すのが最も楽かというと・・・④です!

④の証明

原点O(0,0),単位円上の2点A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)とおく。

加法定理の証明

AB2を余弦定理で計算する方法と,座標での距離(三平方の定理)で計算する方法で表しそれが等しいことで証明する。

△OABについて余弦定理より

AB2=OA2+OB2-2OA・OB・cos(α-β)=2-2cos(α-β)

(α-β<0でもcosθ=cos(-θ)よりこの式は成り立つ)

一方で

AB2=(cosβ-cosα)2+(sinβ-sinα)2=2-(cosαcosβ+sinαsinβ)

よって

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

となり④が成立。

これですべての加法定理が証明できました。過去に東大入試で出題されたとはいえ,滅多に出題されません。

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