重心の軌跡

上野竜生です。今回は重心の軌跡に関する問題を1つ解いてみます。慣れればかなり基本的な部類ですが慣れるまで少しややこしいかもしれません。

重心の軌跡

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問題

A(1,2) , B(2,-5)とする。点Pが円(x-6)2+y2=9の円周上を動くとき,△ABPの重心の軌跡を求めよ。
こういうタイプは求めたい点を(X,Y)とおき,X,Yについての式をたてます。
次にその時使った文字に関する式を見つけ,それに代入します。(x,yは消去しX,Yだけの式にします。)
X,Yだけの式になれば答えです。その図形の名前(わかる限り)と式を答えましょう。その際大文字のX,Yのまま答えるのではなく小文字に直しておく方が良いです。
例題参考図
答え△ABPの重心を(X,Y)とする。
点P(s,t)とするとPは(s-6)2+t2=9・・・①上を動く。
重心の公式より
\( \displaystyle X=\frac{s+1+2}{3} , Y=\frac{t+2-5}{3} \)
つまり\( s=3X-3 , t=3Y+3 \)これを①に代入すると
\( (3X-3-6)^2+(3Y+3)^2=9 \)両辺を9で割って整理すると\( (X-3)^2+(Y+1)^2=1 \)

よって求める軌跡は中心(3,-1),半径1の円

 最後の答えを式で書くなら
「円(x-3)2+(y+1)2=1」という風に小文字のx,yで書きましょう。
今回は「重心の軌跡」としましたが「中点の軌跡」などでも全く同様に解けます。
軌跡の問題の中では比較的単純な部類です。しっかり手を動かして練習しましょう。
ここから応用問題にする方法としては2パターンあり,
①: X,Y以外の文字を消去するのが一筋縄でいかないパターン(ちょっとしたヒラメキがいる)
②: X,Yのとり得る範囲に制約があるパターン(円周上の1点だけ除外しなければいけなかったり放物線の一部だけが答えになるパターン)

です。特に②は自分が解けたつもりでも減点になっちゃうパターンなので注意が必要です。とりあえず今回は基本ということでここで終わりにします(結果論として今回は②を気にしなくて良い)がパターン②が必要な問題も今後取り扱うのでそこで対策を見てみましょう。

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