条件付き確率

上野竜生です。今回は条件付確率について紹介したいと思います。

条件付き確率

スポンサーリンク

公式

Aがおきるという条件の下でBがおきる条件付確率は\(\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

分母はAが起きる確率。分子はAかつBが起きる確率です。
たったこれだけですが結構間違えます。実際に問題を解いて理解しましょう。

問題

あるゲームをA,B,Cさんで行う。このゲームに成功する確率はAさんが\(\displaystyle \frac{1}{10}\) , Bさんが\(\displaystyle \frac{1}{3} \) , Cさんが\(\displaystyle \frac{1}{4} \)である。
(1) 1人だけが成功する確率を求めよ。
(2) 1人だけが成功するという条件の下で,成功した人がAさんである条件付確率を求めよ。
答え(1) Aさんだけが成功する確率
\(\displaystyle \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{120} \)
Bさんだけが成功する確率
\(\displaystyle \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{120} \)
Cさんだけが成功する確率
\(\displaystyle \frac{9}{10}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{18}{120} \)
よって
\(\displaystyle \frac{6}{120}+\frac{27}{120}+\frac{18}{120}=\frac{51}{120}=\frac{17}{40}\)
(2) 条件付確率の公式から
\(\displaystyle \frac{\frac{6}{120}}{\frac{17}{40}}=\frac{6}{51}=\frac{2}{17}\)
結果的には(2)の結果は
\(\displaystyle \frac{(Aだけ成功)}{(Aだけ成功)+(Bだけ成功)+(Cだけ成功)}\\ \displaystyle=\frac{\frac{6}{120}}{\frac{6}{120}+\frac{27}{120}+\frac{18}{120}}=\frac{6}{6+27+18}=\frac{2}{17} \)
となります。
条件付確率の公式って確か分子のほうが複雑な式だったな・・・という中途半端な記憶では間違います。分子のほうが先に求めているので(2)でまた「1人成功かつAさんが成功の確率」を計算しなおす必要もないのです。

よくある間違いとしては

\(\displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{\frac{17}{40}}=\frac{4}{17} \)

・・・分子が単純な「Aさんの成功する確率」になっている(本当は「1人だけ成功かつAさんが成功」なのでB,Cさんは失敗しないといけない

\(\displaystyle \frac{\frac{51}{120}}{\frac{6}{120}}=\frac{17}{2} \)

・・・分母分子が逆。これは確率が1を超えるのですぐに間違いに気付いてほしいです。

こういう問題は実際に手を動かさないとなかなか身に付きません。皆さんも練習問題を解いておきましょう。

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする