乗法定理

上野竜生です。確率の乗法定理を紹介します。みなさん無意識のうちに使っていると思います。

乗法定理

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定理

<復習>条件付確率の公式
Aが起きるという条件の下でBが起きる確率は
\(\displaystyle P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \)

移項すると

POINT\(P(A \cap B)=P(A) P_A(B) \)

これが乗法定理です。

条件付確率の方が簡単に求まる場合に使われます。というより定理だということを意識せずみなさん無意識のうちに使っていると思います。

例題

5本のくじの中にあたりが1本だけ入っている。ここからA,B,C,D,Eさんが順番にくじを引く。引いたくじは元に戻さないとするとき以下の確率を求めよ。
(1) Aさんが当たる確率
(2) Bさんが当たる確率
(3) Dさんが当たる確率

答え(1) 5本中当たりが1本だから\(\frac{1}{5} \)

(2) Aさんが当たりを引いてしまうとBさんは当たらないのでAさんが当たりを引かずにBさんが引く必要がある。
Aさんがはずれを引くという条件の下でBさんが当たりを引く確率を求める。
これは残り4本のくじの中にあたりが1本だから\(\frac{1}{4} \)
Aさんがはずれをひく確率は\(\frac{4}{5} \)だから乗法定理より\(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{5} \)

(3) Aさんがはずれをひく確率は\(\frac{4}{5} \)
Aさんがはずれをひいたとき,Bさんがはずれを引く確率は\(\frac{3}{4} \)
A,Bさんがはずれをひいたとき,Cさんがはずれを引く確率は\(\frac{2}{3} \)
A,B,Cさんがはずれをひいたとき,Dさんがあたりを引く確率は\(\frac{1}{2} \)
よって求める確率は
\(\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{5} \)

ここまで丁寧に書かなくても慣れてくれば式だけでわかります。

引いたくじを元に戻さなくても5人でくじ引きをすれば全員の当たる確率は等しく\(\frac{1}{5} \)ずつとなります。
もちろん,5人じゃなくても同様です。

今回は当たりが1本なのでわかりやすいですが2本だとどうなるでしょう?

例題2

5本のくじの中にあたりが2本入っている。ここからA,B,C,D,Eさんが順番にくじを引く。引いたくじは元に戻さないとするとき以下の確率を求めよ。
(1) Aさんが当たる確率
(2) Bさんが当たる確率
(3) Dさんが当たる確率
答え(1) 5本のくじのうち当たりは2本だから\(\frac{2}{5} \)
(2) Aさんが当たり,Bさんも当たる確率は\(\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{10} \)
Aさんがはずれ,Bさんが当たる確率は\(\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10} \)
よって\(\frac{1}{10}+\frac{3}{10}=\frac{2}{5} \)
(3) 当たりを○,はずれを×と書き,A,B,C,Dさんの順に○×を並べて表現する
・×××○の確率:\(\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}=\frac{12}{120}\)
・○××○の確率:\(\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{12}{120}\)
・×○×○の確率:\(\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{12}{120}\)
・××○○の確率:\(\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{12}{120}\)
以上より求める確率は
\(\frac{12}{120}+\frac{12}{120}+\frac{12}{120}+\frac{12}{120}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}\)

計算は複雑になりますがやはり引いたくじを元に戻さなくても5人でくじ引きをすれば全員の当たる確率は等しく\(\frac{2}{5} \)ずつとなります。
もちろん,5人じゃなくても同様です。

複雑な計算をして得られる結果と単純計算の結果が一致するなかなか面白い題材です。

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