必要条件・十分条件クイズ

上野竜生です。今回は必要条件・十分条件のクイズをやってみましょう。クイズは最後にあります。自信がある人はクイズだけでいいでしょう。自信がない人は必要事項をまとめてますのでそれを読んでからやるとより効果的でしょう。

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おさらい

POINT「pであることはqであるための(  )。」という問題の場合
① p⇒qとp⇐qの2つの真偽を判定する。
② p⇒qが成り立てば「十分条件」・p⇐qが成り立てば「必要条件」
左(だり)向きの矢印がつよう条件と覚えれば間違えにくいです。

<真偽の判定>

・pが成り立つとき常にqも成り立てばp⇒qが真。pが成り立つのにqが成り立たないものが1つでもあれば偽。

真ならば正しいことが証明できる(難しい場合もある)。偽ならば反例が1つ以上出る。確実に正解したいなら証明か反例が見つかるまで探す。どちらも見つからなければなんとなくで選ぶしかないが大体そういう場合は正解率は低い。

・p⇒q の真偽が判定しにくい場合、対偶命題「qでない ⇒ pでない」を調べてもよい。この2つの真偽は一致する。

・pやqがすぐいいかえれそうな表現なら同値な内容に言い換えてもよい。

たとえば下の「基本的な変形」にある表現は言い換えた方がわかりやすい。

基本的な変形

今からお見せするものはすべて同値(p⇒qもp⇐qも両方成り立つ。)
xy=0 ⇔ x=0またはy=0
⇐は自明。⇒も2次方程式を因数分解して解くときに学習していると思います。

xy>0 ⇔ 「x>0かつy>0」または「x<0かつy<0」
xとyが同符号ということです。同様に異符号バージョン
xy<0 ⇔ 「x>0かつy<0」または「x<0かつy>0」
も知っておきましょう。

|x|=x ⇔ x≧0
 |x|>x ⇔ x<0
絶対値の定義から割と自明です。

|x|=a ⇔ x=±aかつa≧0
 |x|>a ⇔ x<-a または x>a
 |x|<a ⇔ -a<x<a
a>0のときは自明かと思いますがaが何であっても一応この表現は成り立ちます。

x≧0かつy≧0のとき
x=y ⇔ x2=y2
x>y ⇔ x2>y2
x≧0,y≧0の制約がないと同値ではないことに注意。特にx=|x|,y=|y|のとき|x|≧0かつ|y|≧0, |x|2=x2だから
|x|>|y| ⇔ x2>y2 (<のときも同様)
|x|=|y| ⇔ x2=y2 ⇔ x2-y2=0 ⇔ (x+y)(x-y) ⇔ x=±y
途中を飛ばしていきなり|x|=|y|⇔x=±yが理解できるようにしましょう。

x2+y2=0 ⇔ x=y=0
⇐は自明ですが⇒も成り立ちます。x2≧0(等号成立はx=0)、yも同様なので足して0になるにはx2=y2=0、つまりx=y=0となります。

クイズ

Q1 nが素数であることはnが奇数であるための( )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q2: nが12の倍数であることはn2が12の倍数であるための( )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q3 x>0とする。

xが無理数であることは(√x)が無理数であるための(  )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q4 xとyがともに有理数であることはx+yとxyがともに有理数であるための( )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q5 xy=yであることはx=1であるための(  )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q6 x2+y2≦1であることはxy≦1であるための(  )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件でない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q7 |x+y|=|x|+|y|であることはxy≧0であるための(  )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q8: 実数a,b,c,dについて

a2+b2+c2+d2=0であることはa+b+c+d=0かつabcd=0であるための(  )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q9: 全体集合をUとするときA∪B=UであることはA∩B=φであるための( )。

※空集合の記号の代わりにφを使っています
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

Q10: 集合について

A⊂BであることはA=Bであるための( )。
必要十分条件である
必要条件であるが十分条件ではない
十分条件であるが必要条件ではない
必要条件でも十分条件でもない

正解です !

間違っています !

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