平面に関して対称移動させた点の求め方

上野竜生です。平面に関して対称移動させた点の求め方を紹介します。なお垂線の足の求め方は知っているものとするのでそこで詰まっている人は前のページに戻ってください。

平面に関して対称移動

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基本

点Pから平面ABCにおろした垂線の足をHとする。また平面ABCに関してPと対称な点をQとする。

Hの求め方はすでに教えているので求められるものとし,Qの座標やベクトルを表すことを考える。平面と同様にすると次の2つが成り立てばよい。

対称移動

・PQの中点,つまり\( \displaystyle \frac{\vec{OP}+\vec{OQ}}{2}\)が平面ABC上にある。

・PQと平面ABCは垂直に交わる。

ここですでに求めることができるHを用いて言い換えると

・PHと平面ABCが垂直に交わるのでHは直線PQ上にある。

・さらにHは平面上にもあるのでHはPQの中点である。

よって\(\displaystyle \vec{OH}=\frac{\vec{OP}+\vec{OQ}}{2} \)が成り立つ。

整理すると\(\vec{OQ}=2\vec{OH}-\vec{OP}=\vec{OP}+2\vec{PH} \)が成り立つ。

最後の等号は\(\vec{OH}=\vec{OP}+\vec{PH} \)を使って整理しています。

例題

O(0,0,0) , P(2,0,0) , A(3,2,1) , B(0,3,0) , C(7,-1,2)とする。平面ABCに対してPと対称な点をQとする。Qの座標を求めよ。

面倒な計算を避けるため四面体の体積を求める問題の例題と数値を同じにしてあります。途中まで計算を省略しています。省略した部分が分からない人はリンク先に戻ってください。

答えPからABCにおろした垂線の足をHとおくと
\(\vec{PH}=s\vec{PA}+t\vec{PB}+(1-s-t)\vec{PC} \)とかける。
\(\vec{PH}\cdot \vec{AB} =0 , \vec{PH}\cdot \vec{AC}=0 \)を成分で表してs,tを求めると
\( \displaystyle s=-\frac{27}{10} , t=\frac{34}{15} \)
よって\(\displaystyle \vec{PH} = \left( -\frac{1}{15} , -\frac{1}{30} , \frac{1}{6} \right)\)」ここまで復習。
ABCに対してPと対称な点をQとするとPQの中点はHであるから
\(\frac{1}{2}\vec{OP}+\frac{1}{2}\vec{OQ}=\vec{OH} \)
よって\(\vec{OQ}=2\vec{OH}-\vec{OP} = 2(\vec{OP}+\vec{PH})-\vec{OP}=\vec{OP}+2\vec{PH} \)となるので
Qの座標は\(\displaystyle \left(\frac{28}{15} , -\frac{1}{15} , \frac{1}{3} \right) \)

垂線の足を求める計算が大変ですが垂線の足まで求められれば簡単なのでぜひ理解しましょう。

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