上野竜生です。今回は外心の位置ベクトルを求めます。外心は垂直二等分線の性質から求めてもいいですし外接円の半径が同じ(AO=BO=CO)から求めてもいいです。最後に一般の場合の結果も紹介します。

問題

三角形ABCにおいてAB=5 , BC=7 , CA=8 とし、三角形ABCの外心をOとするとき\(\vec{AO}\)を\(\vec{AB},\vec{AC} \)で表せ。
答え外心のベクトル
\(\displaystyle \cos{A}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5 \cdot 8}=\frac{1}{2} \)より
\(\vec{AB}\cdot \vec{AC}=5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}=20 \)
\(\vec{AO}=s\vec{AB}+t\vec{AC} \)とおく。ABの中点をM,ACの中点をNとおくと\(\vec{OM}\cdot \vec{AB}=0 , \vec{ON}\cdot \vec{AC}=0 \)
つまり
\(\displaystyle ((\frac12 – s)\vec{AB} – t\vec{AC}) \cdot \vec{AB} \\ = 25 (\frac12 -s)-20t =0 \)
∴10s+8t=5
\(\displaystyle (-s \vec{AB} +( \frac12 -t )\vec{AC}) \cdot \vec{AC} \\ = -20s+32-64t =0 \)
∴5s+16t=8
これを解くと\(\displaystyle s=\frac{2}{15} , t=\frac{11}{24} \)
よって\(\displaystyle \vec{AO}=\frac{2}{15}\vec{AB} + \frac{11}{24}\vec{AC} \)

【別解】
 AO=BO=COを使う

\(\vec{AO}=s\vec{AB}+t\vec{AC} \)より\(|\vec{AO}|^2=25s^2+40st+64t^2 \)

…①

\(\vec{BO}=(s-1)\vec{AB}+t\vec{AC} \)より\(|\vec{AO}|^2=25(s-1)^2+40(s-1)t+64t^2 \)

…②

\(\vec{CO}=s\vec{AB}+(t-1)\vec{AC} \)より\(|\vec{AO}|^2=25s^2+40s(t-1)+64(t-1)^2 \)

…③

①-②より\( 50s-25+40t=0 \)
①-③より\( 40s+128t-64=0 \)
整理すると10s+8t=5 , 5s+16t=8
以下本解と同じ。

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おまけの問題

(1)上の例題で始点を任意の点Xに書き換えて\(\vec{XO}\)を\(\vec{XA},\vec{XB},\vec{XC} \)で表せ。
(2)sin2A:sin2B:sin2Cを求めよ。

答え(1)

\(\displaystyle \vec{XO}-\vec{XA}=\frac{2}{15}(\vec{XB}-\vec{XA})+\frac{11}{24}(\vec{XC}-\vec{XA}) \)

整理すると

\(\displaystyle \vec{XO}=\frac{ 49 \vec{XA}+16 \vec{XB}+55\vec{XC}}{120}\)

(2)余弦定理を用いると
\(\displaystyle \cos{B}=\frac{25+49-64}{2\cdot 5\cdot 7}=\frac{1}{7} \)
\(\displaystyle \cos{C}=\frac{49+64-25}{2\cdot 7\cdot 8}=\frac{11}{14} \)
よってcosA:cosB:cosC=7:2:11
正弦定理よりsinA:sinB:sinC=BC:CA:AB=7:8:5
よって
sin2A:sin2B:sin2C
=2sinAcosA:2sinBcosB:2sinCcosC
=49:16:55

(1)の係数と(2)の比には深い関係がありそうです。しかも(2)の比をすべて足すと49:16:55=120で(1)の分母になってます。実は一般に外心の位置ベクトルは

\(\displaystyle \vec{XO}=\frac{ \sin{2A} \vec{XA}+\sin{2B} \vec{XB}+\sin{2C}\vec{XC}}{\sin{2A}+\sin{2B}+\sin{2C}}\)

と表せることが知られています。

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