関数の平行・対称移動の式

上野竜生です。関数の平行・対称移動の式は直接問われることは少ないですが知っていて当たり前になっている知識です。ここを間違うとかなり点数を落とすのでしっかり覚えましょう。

関数の平行移動・対称移動の式

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高校で習う関数はF(x,y)=0の形で書けます。

たとえばy=f(x)はyを右辺に移項するとf(x)-y=0となるのでF(x,y)=f(x)-yとおけばこのように書けます。

例:

  • 放物線\( y=x^2+4x+5 \)   は \( F(x,y)=x^2+4x+5-y=0 \)
  • 三角関数\( y=2\sin{x}+\cos{2x} \)は \( F(x,y)=2\sin{x}+\cos{2x}-y=0 \)
  • 円\( x^2+y^2=9 \)       は \( F(x,y)=x^2+y^2-9=0 \)

と書けます。なのでF(x,y)の形だけ述べればOKです。ただ,y=f(x)の形でも見慣れておくべきでしょうからここでは両方書いておきます。覚えるときはF(x,y)だけ覚えてy=f(x)は復元できればOKです。

x軸方向にp,y軸方向にq平行移動

\( F(x,y)=0 \)をx軸方向にp,y軸方向にq平行移動させたグラフの式は\( F(x-p,y-q)=0 \)
\( y=f(x) \)をx軸方向にp,y軸方向にq平行移動させたグラフの式は\( y-q=f(x-p) \)

移動前のF(x,y)=0上の点(a,b)が(a+p,b+q)に移動されます。移動後の点(a+p,b+q)に対しF(x,y)=0を満たすには各座標からp,qをひけばいいことがわかります。しかし超頻出なのでいちいち考えなくてもできるように覚えておきましょう。

x軸について対称移動させた式

\( F(x,y)=0 \)をx軸について対称移動させた式は\( F(x,-y)=0 \)

これを覚えるより少し一般化した形で覚えておくとよいでしょう。

\( F(x,y)=0 \)をy=bについて対称移動させた式は\( F(x,2b-y)=0 \)
  • x座標は変化しない
  • \( F(x,y)=0 \)上の点(x,y)と\( F(x,2b-y)=0 \)上の点(x,2b-y)の中点がy=b上
    と考えれば覚えやすいでしょう。
\( y=f(x) \)をy=bについて対称移動させた式は\( 2b-y=f(x) \)

x軸対称は直線y=0に対称ということなのでこの式でb=0を代入した形になります。

y軸について対称移動させた式

\( F(x,y)=0 \)をy軸について対称移動させた式は\( F(-x,y)=0 \)

これを覚えるより少し一般化した形で覚えておくとよいでしょう。

\( F(x,y)=0 \)をx=aについて対称移動させた式は\( F(2a-x,y)=0 \)
\( y=f(x) \)をx=aについて対称移動させた式は\( y=f(2a-x) \)

y軸対称は直線x=0に対称ということなのでこの式でa=0を代入した形になります。

点(a,b)について対称移動させた式

これは上のx→2a-xとy→2b-yを同時にすればOKです。

x=aについて対称移動したあと,y=bについて対称移動すればOKなので同時でなくてもいいのですが・・・。式で確認しておきましょう。

\( F(x,y)=0\)を(a,b)について対称移動させた式は\( F(2a-x,2b-y)=0 \)
\( y=f(x) \)を(a,b)について対称移動させた式は\( 2b-y=f(2a-x) \)

y=xについて対称移動させた式

\( F(x,y)=0 \)をy=xについて対称移動させた式は\( F(y,x)=0 \)

\( y=f(x) \)をy=xについて対称移動させた式は\( x=f(y) \)

これをy=の形に直し\( y=g(x) \)と表したとき,g(x)をf(x)の逆関数といい\( g(x)=f^{-1}(x) \)と書きます。

これは理系でしか習わないと思うので文系の人やセンターのみの人は覚えなくて良いでしょう。

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