確率の計算 サイコロを投げる場合

上野竜生です。確率の計算方法をまとめました。ここではサイコロを投げる系の問題に絞って解説しています。

確率(サイコロ投げる系)

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積が○の倍数問題

投げるサイコロが2個の場合

全部で36通りしかありませんので表を書いて1つずつ調べてもよいでしょう。

投げるサイコロが3個以上のとき

(1)サイコロを4個投げるとき、出た目の積が偶数となる確率は?
(2)サイコロを4個投げるとき、出た目の積が10の倍数となる確率は?
(3)サイコロを4個投げるとき、出た目の積が4の倍数となる確率は?

(1) 積が偶数
⇔ 少なくとも1つは偶数

ですから、全体からすべて奇数になる場合をひけばいいことがわかります。

4個のサイコロがすべて奇数となるのは\( \left( \frac{3}{6} \right)^4=\frac{1}{16} \)

よって求める確率は\( \displaystyle 1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16} \)

(2) 積が10の倍数
⇔ 少なくとも1つは偶数が出て、少なくとも1つは5の倍数がでる。

少し複雑です。

A:4個のうち少なくとも1つは偶数
B:4個のうち少なくとも1つは5の倍数とすると

Aが起きる確率は\(\displaystyle \frac{15}{16} \)、Bが起きる確率は\( \displaystyle 1-\left( \frac{5}{6} \right)^4=\frac{671}{1296}\)です。

AでもBでもないのは4個のサイコロがすべて「1」「3」のときであり、その確率は\( \displaystyle \left( \frac{2}{6} \right)^4=\frac{1}{81} \)

求めるのは「AかつB」なのでベン図をかくとわかりやすいです。

確率のベン図

AかつBに相当する部分の確率をxとするとここまでに出てきた3つの数字の和は
\( \displaystyle \frac{15}{16} + \frac{671}{1296} + \frac{1}{81}=1+x \)という関係式が成り立ちます。

よって求めるxはx=\( \displaystyle \frac{606}{1296}=\frac{101}{216} \)となります。

(3) 積が4の倍数になるのを正確に考えましょう。

(i) 4個のうち少なくとも1つが「4」のとき
(ii) (i)ではなく、かつ4個のうち2つ以上「2」「6」が出たとき

こうすれば単純に(i),(ii)の確率を求め、足せば終わりになります。この赤字部分を忘れると再びベン図を描くことになります。

(i)となる確率は(2)Bと同様にして\( \displaystyle \frac{671}{1296} \)

(ii)となる確率を計算する。

・「2」「6」が4個のとき、\( \displaystyle \left( \frac{2}{6} \right)^4=\frac{16}{1296} \)

・「2」「6」が3個のとき、\( \displaystyle _{4}C_{3} \left( \frac{2}{6} \right)^3 \frac{3}{6}=\frac{96}{1296} \)

・「2」「6」が2個のとき、\( \displaystyle _{4}C_{2} \left( \frac{2}{6} \right)^2 \left( \frac{3}{6} \right)^2=\frac{216}{1296} \)

4個のサイコロのうち,どの3個を「2」「6」にするか決めるのが\(_{4}C_{3}\)通り,その3個以外は「1」「3」「5」のどれかでなくてはいけません。

以上より(ii)の確率は
\( \displaystyle \frac{16+96+216}{1296}=\frac{328}{1296}\)

よって求める確率は

\( \displaystyle \frac{328+671}{1296}=\frac{999}{1296}=\frac{37}{48}\)

別解

積が4の倍数になるのは

(i)偶数であるとき。ただし

(ii)「4」が0回,「2」「6」が1回のみ出ている場合は除く。

(i)の確率は\( \frac{15}{16} \)

(ii)の確率は \( \displaystyle _{4}C_{1} \left( \frac{2}{6} \right)\left( \frac{3}{6} \right)^3=\frac{216}{1296}=\frac{1}{6}\)

よって求める確率は

\( \displaystyle \frac{15}{16}-\frac{1}{6}=\frac{37}{48} \)

サイコロの最大値問題

4個のサイコロを投げるとき、出た目の最大値が5になる確率を求めよ。

最大値が5ということは、すべてが5以下であり、かつ少なくとも1つは5が出ていないといけません。言い換えれば
すべて5以下。ただし、すべて4以下ではだめ。

ということですからこれを式にしましょう。

\( \displaystyle \left( \frac{5}{6} \right)^4-\left( \frac{4}{6} \right)^4=\frac{625-256}{1296}=\frac{369}{1296}=\frac{41}{144} \)となります。

何種類の目が出る?問題

4個のサイコロを投げるとき次の確率を求めよ。
(1)全部同じ目が出る確率
(2)4種類の目が出る確率
(3)ちょうど3種類の目が出る確率

(1)これは意外と勘違いしやすいです。全事象は\( 6^4=1296 \)通り。条件を満たすのは全部1、全部2、全部3、・・・全部6の6通り。よって答えは\( \displaystyle \frac{6}{1296}=\frac{1}{216} \)です。

1296分の1と勘違いしやすいので注意しましょう。全部1の確率なら1296分の1ですが、全部同じとしか言ってないので6通りあります。

または次のようにも考えられます。

1個目は何が出てもいい。
2個目は1個目と同じでないといけない(1/6)。3,4個目も1個目と同じでないといけない(1/6)ので

\(\displaystyle 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{216} \)

(2)

1個目は何がでてもいい。
2個目は1個目と異ならなければならないので確率は5/6
3個目は1,2個目と異ならなければならないので確率は4/6
4個目は1,2,3個目と異ならなければならないので確率は3/6

以上より\( \displaystyle 1 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6}=\frac{5}{18} \)

(3)

全事象は1296通り。

その中で3種類の目が出るのは4つのサイコロが「A」「A」「B」「C」と出たとき。

Aに入る数字の決め方は6通り。

BCの決め方は5×4=20通り。

4つのサイコロが順に「AABC」「ABAC」「ABCA」「BAAC」「BACA」「BCAA」と出る場合があるので6通り。

よって3種類の目が出るのは6×20×6=720通り

以上より求める確率は\( \displaystyle \frac{720}{1296}=\frac{5}{9} \)

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