場合の数 基本は全部数える!時間を短縮するための計算

上野竜生です。場合の数はなかなかクセがあり,苦手とする人も多いと思います。確かにここはある意味で難しいです。ややこしくなっている人のためにいくつかパターンを紹介します。

場合の数

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記号の理解

n!とは1からnまでの整数をすべてかけたものです。たとえば3!=3・2・1=6です。

\( \displaystyle _{n}P_{k}=\frac{n!}{(n-k)!} \)

\( \displaystyle _{n}C_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \)

これを理解しましょう。なお,\( _{n}H_{k}\)などはほぼ使いませんし,結局nCkで代用します。

順番に並ぶ系

n人が順番に並ぶときの並び方はn!通り。

例題
男4人,女3人が一列に並ぶ。
(1) 7人の並び方は何通りあるか。
(2) 女3人が隣り合うのは何通りあるか。
(3) どの女も隣り合わないのは何通りあるか。

(1)は簡単ですね。7!=5040通りです。

(2)このような問題はこのように考えます。

□□□□□

この□に「男1」から「男4」または「女3人組」を入れるやり方を考えます。これは5!=120通りあります。

さらに「女3人組」の部分には

■■■

に女1から女3を入れるやり方を考えます。これは3!=6通りあります。

よって全部で120×6=720通りになります。

たまに120通りと6通りだから合わせて126通りとする間違いをする人もいます。これは書きだせばわかるかと思います。
■■■=「女1」「女2」「女3」のとき120通り
■■■=「女1」「女3」「女2」のとき120通り
■■■=「女2」「女1」「女3」のとき120通り
・・・
と考えれば120+120+120+・・・=120×6であることがわかりますね。

(3)このような問題の基本を教えます!

とりあえず全部書きだそうとする!そのときに見つけた法則を使って計算を使って書く量を減らす!

明らかに「男」と「女」の順番だけ決まれば残りは男4人の並べ方4!=24通りと女3人の並べ方3!=6通りをかければいいことがわかります。実際に書き出してみると

女男女男女男男
女男女男男女男
女男女男男男女
女男男女男女男
女男男女男男女
女男男男女男女
男女男女男女男
男女男女男男女
男女男男女男女
男男女男女男女

の10パターンがいけそうなので10×24×6=1440通りとなります。

なお,この問題では次のような考え方もできます。

①男②男③男④男⑤

の①~⑤のうち,3か所に女が入ればいいので\( _{5}C_{3}=10 \)

これでもOKです。上のパターンを実際に書けばこの計算方法を思いつくかもしれませんね。あるいは一度見ておけば次からは考えやすくなります。

並ばず選ぶだけ系

このようなものは組み合わせを使います。n人中k人の選び方は\( _{n} C_{k} \)です。

例題
男4人女3人の中から3人を選ぶ。
(1)全部で何通りあるか?
(2)男2人,女1人であるのは何通りあるか?
(3)女が少なくとも1人含まれるのは何通りあるか?

(1)これは簡単ですね。7人中3人選ぶだけ(並ばない)のですから
\(_{7}C_{3}=35\)

(2)男4人中2人を選ぶのは\( _{4}C_{2}=6\)通り
女3人中1人を選ぶのは\( _{3}C_{1}=3\)通り
よって18通りです。

これも掛け算であることに注意します。女を「A」「B」「C」とし,
「A」を選んだ時の男の選び方が6通り
「B」を選んだ時も「C」を選んだ時も6通りなので18通りであることがわかります。

(3)男1人,女2人になるのは同様にすると\( _{4}C_{1}\cdot _{3}C_{2}=12\)通り
男0人,女3人になるのは1通り。よって
18+12+1=31通りです。

この場合人数が少ないのでこれでいいですが,「少なくとも1人」という表現から余事象を考える問題と思うのが妥当です。つまり,(1)より全部で35通りです。その中で条件を満たさないものを求め,全体から引くという考えです。余裕がある(または場合の数にまだ慣れていない間)は両方計算し答えが一致することを確かめましょう。余事象で考えると次のようになります。

(1)より,7人中3人を選ぶのは全部で35通り
条件を満たさないのは男3人,女0人のときのみ。この選び方は
\( _{4}C_{3}\cdot _{3}C_{0}=4 \cdot 1=4\)通り
よって35-4=31通り

とりあえず場合の数を聞くことは普通,数Aぐらいしかありません。(ごくまれに数Bの数列で出されることもありますが・・・)基本は次の「確率」分野になります。場合の数はこのぐらいにして確率メインの勉強をしておくと良いでしょう。

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