上野竜生です。今回は\( |\vec{a}+t\vec{b}| \)の最小値の問題を扱います。簡単ですが,図形的意味がありますので紹介します。基礎がしっかりできているならサラっと読むだけで良いレベルです。

問題

\(\vec{a}=(0,5),\vec{b}=(2,-1) \)とする。
(1)\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)の最小値とそのときの実数tの値を求めよ。
(2)\( \vec{a}+s\vec{b} \)と\(\vec{b}\)が垂直になるような実数sの値を求めよ。
答え(1)\(| \vec{a}+t\vec{b} |\geq 0 \)だから\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \)が最小となるとき\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)も最小。
\( \vec{a}+t\vec{b}=(2t,5-t) \)より
\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \\ =(2t)^2+(5-t)^2 \\ = 5t^2-10t+25 \\ =5(t-1)^2+20 \)
よりt=1のとき\(| \vec{a}+t\vec{b} |^2 \)は最小値20をとるので
\(| \vec{a}+t\vec{b} | \)はt=1のとき最小値\(2\sqrt{5} \)をとる。
(2) \(\vec{a}+s\vec{b}=(2s,5-s) \)
\( (\vec{a}+s\vec{b})\cdot \vec{b}\\ =4s-(5-s)=5s-5 \)
垂直条件より内積が0だからs=1

このように(1)のtと(2)のsは一致します。これは図形的意味を考えればわかると思います。
\( \vec{a}+t\vec{b} \)は下の図のような青い直線を描きます。

a+tbは直線

直線上の点で(1)の値が最小になる点をPとするとこれは原点とPの距離が最小になる点になります。最小のときOPと直線は垂直に交わりますね。(2)は垂直の条件ですからもちろん結果は同じになるのです。なので(1)と(2)は同値なものを計算していたということになります。

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