aPA+bPB+cPC+dPD=0を満たすPの位置(空間)

上野竜生です。空間ベクトルで\( a \vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}+d \vec{PD}=\vec{0} \)を満たす点Pの位置を求めます。平面ベクトルの時と同様始点をAにそろえます。

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問題

四面体ABCDがある。\( a \vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}+d \vec{PD}=\vec{0} \)を満たす点Pをとる。
(1) Pはどの位置にあるか
(2) 四面体PBCDの面積は四面体ABCDの面積の何倍か
答え(1)始点をAにそろえる。
\( -a \vec{AP}+b(\vec{AB}-\vec{AP})+c(\vec{AC}-\vec{AP})+d(\vec{AD}-\vec{AP})=\vec{0} \)
整理すると\( (a+b+c+d)\vec{AP}=b\vec{AB}+c\vec{AC}+d\vec{AD} \)・・・(★)
ここでCDをd:cに内分する点をEとおく。
\(\displaystyle \vec{AE}=\frac{c\vec{AC}+d\vec{AD}}{c+d} \)より\(c\vec{AC}+d\vec{AD}=(c+d)\vec{AE} \)
(★)より\( (a+b+c+d)\vec{AP}=b\vec{AB}+(c+d)\vec{AE} \)
ここでBEを(c+d):bに内分する点をFとおく。
\(\displaystyle \vec{AF}=\frac{b\vec{AB}+(c+d)\vec{AE}}{b+c+d} \)より\(b\vec{AB}+(c+d)\vec{AE}=(b+c+d)\vec{AF} \)
(★)より\( (a+b+c+d)\vec{AP}=(b+c+d)\vec{AF} \)
∴\(\displaystyle \vec{AP}=\frac{b+c+d}{a+b+c+d}\vec{AF}  \)
よって辺CDをd:cに内分する点をE,BEを(c+d):bに内分する点をFとするとPはAFを(b+c+d):aに内分する点。
位置ベクトル
(2)底面を△BCDとみると底面積は共通なので体積比は高さの比と等しく、それはAF:PFに等しいから(a+b+c+d):a
よって答えは\(\displaystyle \frac{a}{a+b+c+d} \)倍。
同様に四面体PACDは\(\displaystyle \frac{b}{a+b+c+d} \)倍,四面体PABDは\(\displaystyle \frac{c}{a+b+c+d} \)倍,四面体PABCは\(\displaystyle \frac{d}{a+b+c+d} \)倍で
四面体PBCD:四面体PACD:四面体PABD:四面体PABC=a:b:c:dとなります。

ほとんど平面のときと同様ですね。(2)は高さの比で考えるやり方でないと記述量が膨大になるのでこちらの解法で理解しましょう。

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