全微分可能とは？

答えf(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(x,y)の形にかけるかを考える。
\(\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{0-0}{h}=0 \)
同様に\(\displaystyle f_y(0,0)=\lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=0 \)
なのでA=B=0として考える。
f(0,0)=0よりo(x,y)=|xy|
\(\displaystyle \frac{o(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)が0になるかを判定するため両辺を\( \sqrt{x^2+y^2}\)でわる。\( r=\sqrt{x^2+y^2} \)とすると
\( |x|=\sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2+y^2} =r , |y|\leq r \)なので\( |xy|\leq r^2 \)
\( \displaystyle 0 \leq \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{r^2}{r} \to 0 (r\to 0) \)なので
\(\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{o(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \)
よって全微分可能。

答え

もし全微分可能なら
f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)(x-0)+f_y(0,0)(y-0)+o(x,y)=o(x,y)とかける。つまりo(x,y)=f(x,y)としたとき
\( \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{o(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \)となればよい。x=rcosθ,y=rsinθとすると

\( \displaystyle \lim_{r\to 0} \frac{r^4\sin{\theta}\cos{\theta}(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})}{r^{2a+1}} \)

となるためこれが0に収束するには分母分子のrの指数に着目して2a+1<4が必要。
実際2a+1≧4のときはたとえば\(θ= \frac{\pi}{3} \)などの向きから近づけると0には収束しないことがわかり全微分可能ではない。
2a+1<4のとき
\( |x|\leq r , |y|\leq r , |x^2-y^2|\leq x^2+y^2=r^2 \)なので
\(\displaystyle \frac{-r^4}{r^{2a+1}} \leq \frac{o(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{r^4}{r^{2a+1}} \)
となり両側はr→0のとき0に収束するので真ん中の式も0に収束。つまり全微分可能。

aは正だから\( 0<a<\frac{3}{2} \)

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