上野竜生です。今回は行列の固有値を計算する方法を述べます。ただし、行列式は計算できることが前提となります。
固有値とは？
行列Aの固有値λとはあるベクトル\( \vec{x} \)(≠\( \vec{0} \))が存在してA\(\vec{x} \)=λ\(\vec{x}\)となることをいいます。
固有値の計算方法
次の手順で求めます。
2. その多項式(λに関する多項式)の解を求める。
固有値だけならこれで終わりです。固有ベクトルも求めるなら
3. 求めた固有値λに対しA-λEを計算し、(A-λE)\(\vec{x}\)=0となるベクトル\(\vec{x}\)を計算する。
例題
(1)\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\)
(2)\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)
（１）まずは固有多項式det(λE-A)を計算します。
\( det(\lambda E-A)=det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -2 \\ -5 & \lambda-4 \end{pmatrix} \\=(\lambda-1)(\lambda-4)-(-2)(-5)\\=\lambda^2-5\lambda-6\\=(\lambda+1)(\lambda-6) \)
固有値は「（固有多項式）＝０の解」なので-1,6が固有値。
λ=-1に対する固有ベクトルを求める。
\( A-(-1)E=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \)
固有ベクトルを\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)\)とすると
\((A+E)\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2a+2b \\ 5a+5b \end{array}\right) =0\)
よってb=-aであり，固有値-1に対する固有ベクトルは\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} a \\ -a \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right)\)
λ=6に対する固有ベクトルを求める。同様にすると
\( (A-6E)\vec{x}=\begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -5a+2b \\ 5a-2b \end{array}\right) =0\)
よって固有値6に対する固有ベクトルは\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} a \\ \frac{5}{2}a \end{array}\right)=\frac{a}{2}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array}\right)\)
（２）固有多項式は
\( det(\lambda E-A)=det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -2 & -2 \\ 0 & \lambda-3 & -2 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{pmatrix} \\=(\lambda-1)(\lambda-3)^2\)
より固有値は1,3,3
固有値1に対する固有ベクトル\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} a \\ b \\c \end{array}\right)\)は
\( (A-E)\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2b+2c \\ 2b+2c \\ 2c \end{array}\right) =0\)
よってc=0,b=0となり，固有値1に対する固有ベクトルは\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} a \\ 0 \\0 \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\0 \end{array}\right)\)
固有値3に対する固有ベクトルを求める
\( (A-3E)\vec{x}=\begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2a+2b+2c \\ 2c \\ 0 \end{array}\right) =0\)
より固有値3に対する固有ベクトルは\(\vec{x}=\left(\begin{array}{c} a \\ a \\0 \end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\0 \end{array}\right)\)
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