上野竜生です。今回は複素関数の正則関数とコーシーリーマンの関係式を扱います。大学の定期テストではメインとなる留数計算は絶対出るとして，この辺りからも1問ぐらい出題される印象です。正則であることの必要十分条件は探し出せばいくらでもありますが，まずはコーシーリーマンの関係を理解しましょう。
コーシー・リーマンの関係式
z=x+iyとする。関数f(z)=f(x+iy)は実部をu(x,y)，虚部をv(x,y)としてu(x,y)+iv(x,y)とかけるが，f(z)が領域Dで正則であるとはu(x,y),v(x,y)がDでC1級で，次のコーシー・リーマンの関係式を満たすことである。
ux=vy かつ uy=-vx
このとき，導関数f’(z)は次の式で表される。
\( \displaystyle f’(z)=u_x (x,y)+iv_x(x,y)=\frac{1}{i} \{ u_y(x,y)+iv_y(x,y) \} \)
ところで\( z=x+iy \)とおくと\( \bar{z}=x-iy \)となるので
\(\displaystyle x=\frac{z+\bar{z}}{2} , y= \frac{z-\bar{z}}{2i} \)となります。
f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)を複素関数とする。たとえば\( f(x,y)=x^2+y^2 \)なら\(x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=z\bar{z} \)という風にzと\(\bar{z} \)でかけます。任意の複素関数について
\(\displaystyle f(x,y)=f(\frac{z+\bar{z}}{2},\frac{z-\bar{z}}{2i}) \)が成り立つからどんな複素関数でもzと\( \bar{z} \)でかけます。
ですが正則関数というのは，このうち\(\bar{z} \)を使わずに書けるものを表しています。たとえば，\( f(x,y)=x^2+y^2= z\bar{z} \)，つまり\( u(x,y)=x^2+y^2 , v(x,y)=0 \)は正則関数ではありません。
正則関数はf(z)=(zだけの式)でかけるということを覚えておきましょう。
たとえば\( f(z)=z^2=(x+iy)^2=(x^2-y^2)+2ixy \)なので
\( u(x,y)=x^2-y^2 , v(x,y)=2xy \)は正則関数です。
直感的にはzだけでかけるものが正則関数と思っていいのですが，たとえば\( f=\displaystyle \frac{\bar{z}}{|z|^2} \)はどうでしょう？一見\(\bar{z} \)を含んでるので正則ではなさそうですが整理すると\( \displaystyle \frac{\bar{z}}{|z|^2}=\frac{1}{z} \)なので正則です。このような物を騙されずに確実に判定する方法がコーシーリーマンの関係式です。
例題１ 次の関数は正則関数か？
(2)\(\displaystyle \frac{x-iy}{x^2+y^2} \)
\( u=x^2 , v=y^2 \)
\( u_x=2x , v_y=2y \)となり，\( u_x=v_y \)を満たさないので正則関数ではない。
(2)実部u(x,y)と虚部v(x,y)を考えると
\(\displaystyle u=\frac{x}{x^2+y^2} , v=\frac{-y}{x^2+y^2} \)
\(\displaystyle u_x=\frac{x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}= \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \)
\(\displaystyle v_y=\frac{-(x^2+y^2)+2y^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \)
よって\(u_x=v_y\)は成立。
\(\displaystyle u_y=\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \)
\(\displaystyle v_x=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2} \)
よって\(u_y=-v_x\)も成立。
以上より正則関数である。
例題２ 実部が指定された正則関数を求める問題
\( u(x,y)=2xy \)である。コーシーリーマンの関係式より
\( v_x=-u_y=-2x \)・・・①
\( v_y=u_x=2y \)・・・②
①より\( v=-x^2+h(y) \)とかける。これを②に代入すると
\( h’(y)=2y \)
となるから\( h(y)=y^2+C \)(Cは任意の実数)
つまり，\( v(x,y)=-x^2+y^2+C \)
以上より求める正則関数は
\( 2xy+ (-x^2+y^2+C)i \)(Cは任意の実数)
\( -i(x+iy)^2+Ci=-iz^2+Ci \)とかけます。
Cが実数でなければ「実部が2xyの条件」を満たしません。虚部v(x,y)だけを取り出してるので実数関数で考えています。なので定数も実数です。
例題３ 証明問題
|f|が定数関数だから
\( u^2+v^2=A \)
(Aは定数)とかける。A=0のときはu=v=0なのでf=0となり，定数関数である。
A>0のとき両辺をx,yでそれぞれ偏微分すると
\( 2uu_x + 2vv_x=0 \)
\( 2uu_y + 2vv_y=0 \)
ここでfが正則関数だからコーシーリーマンの関係式より
\( u_x=v_y , u_y=-v_x \)
が成り立つ。これを利用してvを消去すると
\( 2uu_x - 2vu_y= 0 \)・・・①
\( 2uu_y + 2vu_x=0 \)・・・②
これを解くと\(u_x=u_y=0\)・・・(★詳細は下の注を参照）
ここからコーシーリーマンの関係式より\(v_x=v_y=0\)
となるからu,vは定数関数。つまりfも定数関数。
①×u+②×vより
\( (2u^2+2v^2)u_x=0 \)
\( u^2+v^2=A >0 \)なので\( u_x=0 \)
②×u-①×vより
\( (2u^2+2v^2)u_y= 0\)
同様にして\( u_y=0 \)
コーシーリーマンの関係式を使った問題としては正則かどうかを判定する問題，正則関数になるように係数を定める問題，そして「例題３の証明問題」が比較的よく出ます。いろいろな証明問題がある中で例題３の問題は突出して出題頻度が高いので一度見ておけば楽になるでしょう。
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