問題 (★)
※今月の問題は2025年3月を最終回にする予定です。
問177
複素数zに対して,関数f(z)をf(z)= |z+1|-|z-1|と定める。
(1)z=-1+iのとき,|z+1|=[ ア ],|z-1|=[ イ ]だからf(z)=[ ア ] - [ イ ]である。
[ ア ]・[ イ ]の解答群
⓪ 0 ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 5
⑤ \(\sqrt{3}\) ⑥ \(\sqrt{5}\) ⑦ i
(2) kを正の実数とする。f(z)=kとなる軌跡を考えよう
|z+1|-|z-1|=kについて,|z-1|を移項すると
|z+1|=|z-1|+k ・・・(★)
ここで,z=x+iy(x,yは実数)とおいて(★)の両辺が0以上であることに注意して両辺を2乗し,整理すると
\( 4x-k^2=2k\sqrt{ (x-1)^2+y^2 } \)
\(k=3\)のときf(z)=kの軌跡は[ ウ ]。
\( k=\sqrt{3}\)のとき,f(z)=kの軌跡は[ エ ]であり,漸近線の方程式は[ オ ]である。
[ ウ ]の解答群:
⓪円 ①楕円 ②双曲線 ③放物線 ④直線 ⑤点 ⑥図形を表さない
[ エ ]の解答群:
[ オ ]の解答群
⓪\( y=\pm 3x \) ①\( y=\pm \sqrt{3}x \) ②\( y= \pm x \)
③\(\displaystyle y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x \) ④\(\displaystyle y=\pm \frac{1}{3}x \)
(3)複素数平面において\( f(z)=\sqrt{3}\)が表すzの軌跡をC1とする。
C1上の点zに対し,\(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)とおいたときのwの軌跡をC2とする。
C1とC2の交点はすべて原点を中心とする半径[ カ ]の円周上にある。
[ カ ]の解答群
⓪ 0 ① 1 ② 2 ③ 3
④ \(\displaystyle \frac{1}{2}\) ⑤ \(\displaystyle \frac{1}{3}\) ⑥ \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \) ⑦ \(\sqrt{3} \)
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正解者一覧
現在正解者1名
1 | 中西ゆか さま | |
2 | ||
3 |
12月8日21時45分時点
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