今月の問題　問177

問題　（★）

※今月の問題は2025年3月を最終回にする予定です。

問177

複素数zに対して，関数f(z)をf(z)= |z+1|-|z-1|と定める。

(1)z=-1+iのとき，|z+1|=[　ア　]，|z-1|=[　イ　]だからf(z)=[　ア　] - [　イ　]である。

[　ア　]・[　イ　]の解答群

⓪　0　　①　1　　②　2　　③　3　　④　5
⑤　\(\sqrt{3}\)　　⑥　\(\sqrt{5}\)　　⑦　i

(2) kを正の実数とする。f(z)=kとなる軌跡を考えよう
|z+1|-|z-1|=kについて，|z-1|を移項すると
|z+1|=|z-1|+k　・・・（★）
ここで，z=x+iy（x,yは実数）とおいて（★）の両辺が0以上であることに注意して両辺を2乗し，整理すると
\( 4x-k^2=2k\sqrt{ (x-1)^2+y^2 } \)

\(k=3\)のときf(z)=kの軌跡は[　ウ　]。
\( k=\sqrt{3}\)のとき，f(z)=kの軌跡は[　エ　]であり，漸近線の方程式は[　オ　]である。

[　ウ　]の解答群：

⓪円　①楕円　②双曲線　③放物線　④直線　⑤点　⑥図形を表さない

[　エ　]の解答群：

[　オ　]の解答群

⓪\( y=\pm 3x \)　　①\( y=\pm \sqrt{3}x \)　　②\( y= \pm x \)
③\(\displaystyle y=\pm \frac{\sqrt{3}}{3} x \)　　④\(\displaystyle y=\pm \frac{1}{3}x \)

(3)複素数平面において\( f(z)=\sqrt{3}\)が表すzの軌跡をC₁とする。
C₁上の点zに対し，\(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)とおいたときのwの軌跡をC₂とする。
C₁とC₂の交点はすべて原点を中心とする半径[　カ　]の円周上にある。

[　カ　]の解答群

⓪　0　　①　1　　②　2　　③　3
④　\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　　⑤　\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　　⑥　\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \)　　⑦　\(\sqrt{3} \)

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