今週の問題　問26　答え

上野竜生です。問26の答えを発表します。

問26　★

答え

ステップ１　面積をAE,BE,CE,DEで表す。

AE=a , BE=b , CE=c , DE=dとする。（a,b,dは2ケタの整数。cは1ケタの整数。）
桁数よりa>c

方べきの定理よりac=bd

図のように円の中心を原点・ACをx軸に平行・BDをy軸に平行とし，円の半径をRとする。（一般性を失わない）

このときCの座標は\( (\frac{a+c}{2} , \frac{b-d}{2}) \)となるので

\( \displaystyle R^2=\left( \frac{a+c}{2} \right)^2 + \left( \frac{b-d}{2} \right)^2 = \frac{a^2+2ac+c^2+b^2-2bd+d^2}{4} = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} \)

（∵ac=bd）

求める面積をa,b,c,dで表す。

b≦dのときAC,BDをx軸やy軸に関して対称移動させると

求める面積＝（円の面積＋真ん中の長方形の面積）÷2となる。

よって面積＝\( \frac{\pi R^2}{2}+ \frac{(a-c)(d-b)}{2} \)

しかし，問題文ではコサの係数はマイナスなので不適。

b>dのとき同様にすると求める面積は

\( \displaystyle \frac{\pi R^2}{2}+ \frac{(a-c)(b-d)}{2} \)
\( \displaystyle =\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{8}\pi + \frac{(a-c)(b-d)}{2} \)

（b>d）となる。

ステップ２：桁数の条件よりa,b,c,dを定める。

\( a^2+b^2+c^2+d^2\)が8の倍数にならないといけないので偶奇を絞り込む。

一般に奇数の2乗は8で割ると1余る
（∵(2k+1)²=4k(k+1)+1　連続2整数の積は偶数なので8の倍数+1）

よってa,b,c,dはすべて偶数でなければならない。

以下a=2A , b=2B , c=2C , d=2Dとする。

ここまでを整理すると次の通り。

クケの条件より\( A^2+B^2+C^2+D^2 \)は20以上198以下の偶数である。

B≧6（∵B>D）　,　D≧5よりA²≦137だからA≦11

C=1とするとAC=BDよりA=BD≧30となり不適。
C=2とするとA≧15となり不適。
よってC=3またはC=4である。

C=3のとき　A≦11とC=3からBD≦33となり，これを満たすB,DはB=6,D=5のみ。
このとき(A,B,C,D)=(10,6,3,5)となる。

C=4のとき　A≦11とC=4からBD≦44となり，これを満たすB,Dは
(B,D)=(6,5),(7,5),(8,5) , (7,6)
AC=4A=BDなのでBDが4の倍数になる必要があり(B,D)=(8,5)以外は不適。

このとき(A,B,C,D)=(10,8,4,5)となる。

ステップ３：出てきた候補が条件をすべて満たすか確認

(A,B,C,D)=(10,6,3,5)を面積の式に代入すると
\( \frac{10^2+6^2+3^2+5^2}{2} \pi - 2(10-3)(6-5)=85\pi- 14 \)となり条件を満たす。（他の条件もすべて満たすので適。）

(A,B,C,D)=(10,8,4,5)を面積の式に代入すると
\( \frac{10^2+8^2+4^2+5^2}{2} \pi - 2(10-4)(8-5)=\frac{205}{2}\pi- 36 \)となり桁数が合わず不適。

よって(A,B,C,D)=(10,6,3,5)となり，答えは

アイ=20,　ウエ=12,　オ=6,　カキ=10,　クケ=85,　コサ=14

である。

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