今月の問題　問178　答え

上野竜生です。問178の答えを発表します。

問178

答え

n=9,16,21,24,25,169,729,2025

4次式なので1次式か2次式で因数分解できなければもう因数分解できない。

1次式(x-a)で因数分解できるとき（aは整数）
\( f(x)=x^4-10x^2+n \)とするとf(a)=0
f(a)=0となるためにはn≧1なので\( a^4-10a^2 <0 \)が必要
よって\( a= \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 \)

a=±1のときf(a)=1-10+n=0　∴n=9
a=±2のときf(a)=16-40+n=0　∴n=24
a=±3のときf(a)=81-90+n=0　∴n=9

2次式で因数分解できるとき
\( (x^2+bx+c)(x^2+dx+e)=x^4-10x^2+n \)とおいて係数比較する
\( x^3\)の係数に着目するとb+d=0　∴d=-bである。
xの係数に着目するとbe+cd=be-bc=b(e-c)=0　∴b=0またはc=eである。

b=0のときd=0なので整理すると
\( (x^2+c)(x^2+e)=x^4-10x^2+n \)
これがxについての恒等式だから
c+e=-10
ce=n
nは1以上なのでc,eのうち片方が0以上ならばもう片方は負となり，ce=n≧1にはならないので，c,eは両方とも負である。
よって(c,e)=(-1,-9),(-2,-8),(-3,-7),(-4,-6),(-5,-5),(-6,-4),(-7,-3),(-8,-2),(-9,-1)
であるからn=9,16,21,24,25

c=eのとき整理すると
\( (x^2+bx+c)(x^2-bx+c)\\ =(x^2+c)^2-(bx)^2 \\ = x^4 + (2c-b^2) x^2 + c^2 =x^4 -10x^2 +n \)
これがxについての恒等式だから
\( 2c-b^2=-10\)
\( c^2 = n\)

bが奇数ならば左辺は奇数，右辺は偶数なので矛盾。よってbは偶数。
b=2kとおく。1つめの式から\(c=2k^2-5\)なので
\( n= (2k^2-5)^2 \)
\( k=0, \pm 1 , \pm 2 , \cdots \)と代入していくと
n=25,9,9,169,729,2025,4489,8649,・・・
k≧6,k≦-6のときはnが3000より大きくなるので不適。

以上より最終結果は
n=9,16,21,24,25,169,729,2025