今月の問題　問177　答え

上野竜生です。問177の答えを発表します。

※今月の問題は2025年3月を最終回にする予定です。

問177

問題

答え

ア　①
イ　⑥
ウ　⑥
エ　⓪
オ　③
カ　①

ア・イ

\(z=-1+i\)のとき，\(|z+1|=|i|=1　，|z-1|=|-2+i|=\sqrt{5}\)

ウ

（問題文にある\( 4x-k^2=2k\sqrt{ (x-1)^2+y^2 } \)の導出　⇐この問題では計算してくれているので導出する必要はないが，なぜこの式がでてきたのかわからない人向け）

\( |z+1|=|z-1|+k \)に\( z=x+iy \)(x,yは実数)を代入すると
\( |(x+1)+iy| = |(x-1)+iy| + k \)
複素数の絶対値の定義より
\( \sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}+k \)
（√は0以上かつkは正の実数だから両辺は正。よって）両辺を2乗しても同値
\( (x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 +y^2 +k^2 +2k\sqrt{ (x-1)^2 + y^2} \)
\( x^2+ 2x+1+y^2 =x^2 -2x +1 +y^2+k^2 +2k\sqrt{(x-1)^2+y^2} \)
\( 4x-k^2 =2k\sqrt{(x-1)^2 +y^2} \)
（導出終わり）

k=3のとき
\( 4x-9=6\sqrt{(x-1)^2+y^2} \)
右辺は0以上だから左辺も0以上。よって\(\displaystyle x\geq \frac{9}{4} \)
この条件で両辺を2乗すると
\( 16x^2 - 72x +81 =36x^2 -72x +36+36y^2 \)
\( 20x^2 +36y^2 =45 \)
ところが\(\displaystyle x\geq \frac{9}{4} \)なので
（左辺）\( \geq 20 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{4}+0^2 >45 \)
となり(左辺)=(右辺)は成立しない。

エ

\( k=\sqrt{3} \)のとき
\( 4x-3=2\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^2+y^2 }\)
右辺は0以上だから\( \displaystyle x \geq \frac{3}{4} \)
この条件で両辺を2乗すると
\( 16x^2- 24x+9 = 12x^2 -24x+12+12y^2 \)
\( 4x^2-12y^2=3 \)
\( \displaystyle \frac{x^2}{\frac{3}{4}}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1 \)
よってこのグラフは選択肢④のようになるが\(\displaystyle x \geq \frac{3}{4} \)なので右側のみである。よって答えは⓪

オ

双曲線の方程式は
\(\displaystyle \frac{x^2}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} - \frac{y^2}{(\frac{1}{2})^2} =1 \)
とかけるので漸近線は
\(\displaystyle y=\pm \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}x= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x \)

カ

C₁の式は
\( |z+1|-|z-1|=\sqrt{3} \)
\( \displaystyle w=\frac{1}{z} \)より\(\displaystyle z=\frac{1}{w} \)であるからC₂の式はC₁の式に\( \displaystyle z=\frac{1}{w} \)を代入して
\(\displaystyle \left| \frac{1}{w} +1 \right| - \left| \frac{1}{w} -1 \right| =\sqrt{3} \)
両辺に\( |w| \)をかけて
\( |1+w|-|1-w|=\sqrt{3}|w| \)
つまり
\( |w+1|-|w-1|=\sqrt{3}|w| \)
となる。

ここでC₁とC₂の左辺は等しいから右辺どうしも等しい。よって
\( \sqrt{3}|w|=\sqrt{3} \)
つまり
\( |w|=1 \)
となり，絶対値は1である。つまり，原点を中心とする半径1の円周上にある。