今月の問題　問175　答え

上野竜生です。問175の答えを発表します。

問175

答え

答　最大値　1/4　　最小値　0
（最大値は2つが1/2,残りが0のとき。最小値は1つが1で残りが0のとき）

1変数(今回はzを)消去する。
f(x,y,z)の式にz=1-x-yを代入すると
(x+y)(1-x)(1-y)-4xy(1-x-y)
ここで，x+y=s , xy=tとして整理すると
(x+y)(xy-x-y+1)-4xy+4xy(x+y)
=s(t-s+1)-4t+4st
=5st-s²-4t+s
=(5s-4)t+(s-s²)

sを固定してtのみを動かしその中で最大最小を考える。その後，tの最大の中でsを動かし最大を求める。（最小も同様）

\( s> \frac{4}{5} \)のときはtが大きいほど大きくなり，tが小さいほど小さい
\( s < \frac{4}{5} \)のときはtが小さいほど大きくなり，tが大きいほど小さい

s=x+yを固定させたときのt=xyの取り得る範囲は
\( 0 \leq t \leq \frac{s^2}{4} \)
（∵問題文の条件と\(t=xy=x(s-x)=-(x-\frac{1}{2}s)^2+\frac{1}{4}s^2 \)より）

以上をまとめると次のようになる
\( s\geq \frac{4}{5} \)のとき
最大値は \( (5s-4)\cdot \frac{1}{4}s^2 + s-s^2 \)の最大値・・・（あ）
最小値は\( s-s^2 \)の最小値・・・（い）

\( s<\frac{4}{5} \)のとき
最大値は\( s-s^2 \)の最大値・・・（う）
最小値は \( (5s-4)\cdot \frac{1}{4}s^2 + s-s^2 \)の最小値・・・（え）

0≦x+y=1-z≦1なのでsのとりうる範囲が0≦s≦1であること，（あ）（え）は\( t=\frac{1}{4}s^2 \)のときで，（い）（う）はt=0のときであること，\( s=\frac{4}{5}\)のときもこの式で表せることに注意する

（い）について
最小となるのはs=1(,t=0)のとき
よって(x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0)のとき最小値0

（う）について
最大となるのは\( s=\frac{1}{2} ,(t=0)\)のとき
よって\( (x,y,z)=(\frac{1}{2} , 0 , \frac{1}{2} ),(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \)のとき最大値\( \frac{1}{4} \)

（あ）・（え）について
\( g(s)= (5s-4)\cdot \frac{1}{4}s^2 + s-s^2 \\ = \frac{5}{4}s^3 - 2s^2 +s \)
とおく。
\( g’(s)=\frac{15}{4}s^2-4s+1=\frac{1}{4}(3s-2)(5s-2) \)

\(\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \cdots & \frac{2}{5} & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots & 1 \\ \hline f’(x) & & + & 0 & – & 0 & + &  \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow & \frac{1}{4} \end{array}\)

（あ）
\( \frac{4}{5} \leq s \leq 1 \)ではg(s)は単調増加なので最大となるのは\( s=1 (,t=\frac{1}{4}) \)のとき
よって\( (x,y,z)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0) \)のとき最大値\( \frac{1}{4} \)

（え）
\( 0 \leq s < \frac{4}{5} \)の範囲でg(s)の最小値として可能性のあるのは
端のg(0)または極小値の\( g(\frac{2}{3}) \)である
\( g(0)<g(\frac{2}{3}) \)より最小となるのはs=0(,t=0)のとき
よって(x,y,z)=(0,0,1)のとき最小値0

以上より最大値は
\( (x,y,z)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}),(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \)のとき\(\frac{1}{4} \)
最小値は
(x,y,z)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)のとき0