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上野竜生です。問174の答えを発表します。
問174
0°≦x＜180°とする。
cos3x - sin3x = cos2x - sin2x
を満たすxをすべて求めよ。
答え 0°,54°,126°
変形すると
cos3x - cos2x = sin3x - sin2x
和積の公式より
-2sin2.5x sin0.5x = 2cos2.5x sin0.5x
整理すると
2sin0.5x (sin2.5x + cos2.5x)=0
よって
sin0.5x=0またはsin2.5x + cos2.5x=0
sin0.5x=0を解くとx=0°
sin2.5x+cos2.5x=0を解く
合成すると
\( \sqrt2 \)sin(2.5x+45°)=0
0°≦x＜180°より45°≦2.5x+45°＜495°
2.5x+45°=180°,360°
x=54°,126°
まとめると
x=0°,54°,126°
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