今月の問題　問171　答え

上野竜生です。問171の答えを発表します。

問171

答え

\( g_1(x)=x^3+ 2x^2+ 3x+4 , g_2(x)=x^2 - 2x +3 \)
\(\displaystyle h_1(x)= -\frac{1}{16}x + \frac{1}{16} , h_2(x)=\frac{x^2+3x+4}{16} \)

(1)　ユークリッドの互除法と同じようなやり方で解いていく

\(f_1(x) \)を\( f_2(x) \)で割ると商は\(x+4 \) , 余りは\( 8x^3-104x^2 + 224x -128 \)
つまり
\( f_1(x)=(x+4)f_2(x) + 8(x^3-13x^2 + 28x-16) \)・・・①

次に\( f_2(x) \)を\( x^3-13x^2+28x-16 \)で割ると商は\( x-1 \)，余り\( 2x^2-24x+32 \)なので
\( f_2(x)=(x-1)(x^3-13x^2+28x-16)+ 2(x^2-12x+16) \)・・・②

次に\( x^3-13x^2+28x-16 \)を\( x^2-12x+16 \)で割ると商が\( x-1 \)，あまり0だから
\( x^3-13x^2+28x-16=(x-1)(x^2-12x+16) \)・・・③

よって共通因数\( g_3(x)=x^2-12x+16 \)

③を②に代入すると
\( f_2(x)=(x-1)(x-1)(x^2-12x+16)+2(x^2-12x+16)\\ = (x^2-2x+3)(x^2-12x+16) \)・・・④
となるから\( g_2(x)=x^2-2x+3 \)

③④を①に代入すると
\( f_1(x)=(x+4)(x^2-2x+3)(x^2-12x+16)+8(x-1)(x^2-12x+16) \\ = ( x^3+2x^2+3x+4)(x^2-12x+16) \)
となるから\( g_1(x)=x^3+2x^2+3x+4 \)

(2)　同様にユークリッドの互除法のようなやり方でやっていく

\( g_1(x) \)を\( g_2(x) \)で割ると商が\( x+4 \)，余りが\( 8x-8 \)なので
\( g_1(x)=(x+4)g_2(x)+8x-8 \)・・・⑤

\( g_2(x) \)を\( 8x-8 \)で割ると商が\(\displaystyle \frac{1}{8}x-\frac{1}{8} \)，余り2なので
\(\displaystyle g_2(x)=\left(\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\right)(8x-8)+2 \)・・・⑥

⑥より
\(\displaystyle 2=g_2(x)-\left(\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\right)(8x-8) \)
⑤式を8x-8=・・・に変形して得られる式を上の式に代入し，(8x-8)を消去すると

\(\displaystyle 2=g_2(x)-\left(\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}\right) \{g_1(x)-(x+4)g_2(x)\} \)

整理すると
\(\displaystyle 2=-\left( \frac{1}{8}x - \frac{1}{8} \right) g_1(x) + \left\{ 1+\left(\frac{1}{8}x- \frac{1}{8}\right)(x+4) \right\}g_2(x) \\ \displaystyle =-\left( \frac{1}{8}x - \frac{1}{8} \right) g_1(x) + \left(\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{8}x+ \frac{1}{2} \right)g_2(x) \)

これを2で割ることにより
\(\displaystyle \left( -\frac{1}{16}x+\frac{1}{16} \right) g_1(x)+ \left(\frac{1}{16}x^2 +\frac{3}{16}x+ \frac{1}{4} \right) g_2(x)=1 \)
となるから
\(\displaystyle h_1(x)=-\frac{1}{16}x+\frac{1}{16} , h_2(x)=\frac{1}{16}x^2 +\frac{3}{16}x+ \frac{1}{4} \)