上野竜生です。問170の答えを発表します。
問170
\( 60x^2 y^2 + 241x^2 y + 123xy^2 + 60x^2 + 200xy + 60y^2 \)
を因数分解せよ
答え (4xy+15x+5y)(15xy+4x+12y)
たすきがけなどでやろうとすると（たぶん）選択肢が多いので確実に解ける方法を採用
xについて降べきの順に整理する
\( (60y^2 + 241y+60)x^2 + (123y^2 + 200y)x + 60y^2 \)
最初の( )内を因数分解する。
\( 60y^2 + 241y+60=(4y+15)(15y+4) \)
もし1次の因数(Ay+B)をもつならもう片方の因数は(By+A)の形になります。
\( (Ay+B)(By+A)=60y^2 + 241y+60 \)より
\( AB=60, A^2+B^2=241 \)
を満たす整数を考えると4,15の組が見つかります。
解の公式で\( (60y^2 +241y +60)x^2 + (123y^2 + 200y)x + 60y^2 =0 \)の解を求める
\(\displaystyle \frac{-(123y^2+200y) \pm \sqrt{ (123y^2+200y)^2 - 240y^2 (60y^2+241y+60) }}{2(4y+15)(15y+4)} \\ = \displaystyle \frac{-(123y^2+200y) \pm y \sqrt{ (123y+200)^2 - 240 (60y^2+241y+60) }}{2(4y+15)(15y+4)} \\ = \displaystyle \frac{-(123y^2+200y) \pm y \sqrt{ 729y^2 -8640 +25600 }}{2(4y+15)(15y+4)} \\ = \displaystyle \frac{-(123y^2+200y) \pm y (27y-160) }{2(4y+15)(15y+4)} \)
\( 123^2- 240 \cdot 60 = 123^2-120^2=243\cdot 3=729=27^2 \)
\( 200^2 - 240\cdot 60 = 200^2 -120^2 =320 \cdot 80 =160^2 \)
などは思いつきやすいでしょう。
-のほうを計算すると
\(\displaystyle \frac{-123y^2 -200y - 27y^2 +160y}{2(4y+15)(15y+4)} \\ \displaystyle = \frac{-10y(15y+4)}{2(4y+15)(15y+4)} \\ \displaystyle = \frac{-5y}{4y+15} \)
+のほうを計算すると
\(\displaystyle \frac{-123y^2 -200y + 27y^2 -160y}{2(4y+15)(15y+4)} \\ \displaystyle = \frac{-24y(4y+15)}{2(4y+15)(15y+4)} \\ \displaystyle = \frac{-12y}{15y+4} \)
以上よりもとの式は最高次の係数が(4y+15)(15y+4)であることに注意すると
\( \displaystyle (4y+15)(15y+4)\left( x+\frac{5y}{4y+15} \right) \left( x+\frac{12y}{15y+4} \right) \\ = ((4y+15)x +5y) ((15y+4)x+12y) \\ =(4xy+15x+5y)(15xy+4x+12y) \)
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
