上野竜生です。問168の答えを発表します。
問168
(1)n≧0で定義された数列\( a_n , b_n , c_n \)が
\( a_0=-1 , ~ b_0=0 , ~ c_0=2 \)
\( a_{n+1}=b_n + c_n \\ b_{n+1}=a_n+c_n \\ c_{n+1}=a_n+b_n \)
を満たすとき，\(a_n \)の一般項を求めよ。
(2)tについての関数x(t), y(t), z(t)が
\(x(0)=-1 ,~ y(0)=0 ,~ z(0)=2 \)
\( \frac{dx}{dt}=y+z \\ \frac{dy}{dt}=x+z \\ \frac{dz}{dt}=x+y \)
を満たすとき，x(t)をtの式で表せ。
答え
(1)3つの数列をすべて足すと
\( a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=2(a_n+b_n+c_n) \)
となるので\( a_n+b_n+c_n \)は等比数列。
初項1，公比2だから
\( a_n+b_n+c_n= 2^n \)・・・①
（初項がn=1ではなくn=0であることに注意。）
次に第1式から第2式を引くと
\( a_{n+1}-b_{n+1}=-(a_n-b_n) \)
同様にして\(a_n-b_n \)は初項-1，公比-1の等比数列だから
\( a_n-b_n=-(-1)^n \)・・・②
第1式から第3式を引いて同様にすると
\( a_n-c_n=-3(-1)^n \)・・・③
①＋②＋③より
\( 3a_n=2^n -4(-1)^n \)
よって
\(\displaystyle a_n= \frac{1}{3} 2^n - \frac{4}{3}(-1)^n \)
(2)
3つの方程式をすべて足すと
\( x’(t)+y’(t)+z’(t)=2(x+y+z) \)・・・④
一般に関数f(t)がf(0)=A, f’(t)=Bf(t)つまり \( \displaystyle \frac{df}{dt}=Bf \)を満たしていたとする。(ただし，A≠0かつB≠0）
このとき
\(\displaystyle \frac{1}{f} df= Bdt \)なので積分すると
log|f|=Bt +C
よって\( |f(t)|=e^{Bt+C}=e^C \cdot e^{Bt} \)
\( f(t)=\pm e^C \cdot e^{Bt}=De^{Bt} \)
ただし\( D=\pm e^{C} \neq 0 \)
初期条件よりt=0を代入すると\( D=A \)
∴\(f(t)=Ae^{Bt} \)
まとめるとf(0)=A , f’(t)=Bf(t)ならば\( f(t)=Ae^{Bt} \)・・・★
これを用いると④は
\( x(t)+y(t)+z(t)=e^{2t} \)・・・⑤
問題文の方程式の第1式ー第2式より
\( x’(t)-y’(t)=-(x-y) \)
初期値x(0)-y(0)=-1だから★より
\( x(t)-y(t)=-e^{-t} \)・・・⑥
同様に第1式ー第3式に★を適用すると
\( x(t)-z(t)=-3e^{-t} \)・・・⑦
⑤＋⑥＋⑦より
\( 3x(t)=e^{2t}-4e^{-t} \)
よって\(\displaystyle x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}- \frac{4}{3} e^{-t} \)
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