今週の問題　問147　答え

上野竜生です。問147の答えを発表します。

問147

図のような三角形ABCにおいてCからABにおろした垂線の足をP，AからBCにおろした垂線の足をQ，BからACにおろした垂線の足をRとする。
BP:BQ=2:3 , CR:CQ=4:5のとき次の比を求めよ。
(1)AP:AR
(2)BA:BC
(3)AR:CR

答え

(1)BP=2a,BQ=3a , CR=4b, CQ=5bとおく。
チェバの定理より
\(\displaystyle \frac{QC}{BQ} \cdot \frac{RA}{CR} \cdot \frac{PB}{AP}=1 \)
つまり
\(\displaystyle \frac{5b}{3a} \cdot \frac{RA}{4b} \cdot \frac{2a}{AP}=1 \)
となるからAP:AR=5:6

(2)以下ではAP=5c, AR=6cとおく。
∠APC=∠AQC=90°なので4点A,P,Q,Cは同一円周上にある。この円をかくと方べきの定理より
BQ・BC=BP・BA
3a BC=2a BA
となるのでBA:BC=3:2

(3)BA=2a+5c , BC=3a+5bなので2BA=3BCより
4a+10c=9a+15b
つまりa+3b=2c・・・①
全く同様にするとA,B,Q,Rが同一円周上で方べきの定理よりCA:CB=5:4なので
4(4b+6c)=5(3a+5b)
つまり5a+3b=8c・・・②
①②よりa,cを消去すると
a=9b, b=b , c=6b
よってAR:CR=6c:4b=36b:4b=9:1

正解者：2名（古春 さま，中西ゆか さま）