今週の問題　問140　答え

上野竜生です。問140の答えを発表します。

問140

答え

もとの問題では
(1)f(x)を求めよ。
(2)→この問題の(1)
(3)→この問題の(2)
なのでほとんど同じことです。

(1)　\( x>0 \)ならば
\( e^x-e^{-x} > 0 \)
\( e^x+ e^{-x} > e^x-e^{-x} \)なのでy>1である。
逆関数を求める。定義域はx>1である。
\(\displaystyle x=\frac{e^y + e^{-y}}{e^y- e^{-y}} \)なので
\( xe^y- xe^{-y} = e^y + e^{-y} \)
\( (x-1)e^y = (x+1)e^{-y} \)
\(∴\displaystyle e^{2y} = \frac{x+1}{x-1} \)
x>1だから
\(\displaystyle y=\frac{1}{2}\log{\frac{x+1}{x-1}} \)
である。
\(\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}\log{\frac{\sqrt{x^3+1}+1}{\sqrt{x^3+1}-1}} \\ = \displaystyle \frac{1}{2}\log{\frac{(\sqrt{x^3+1}+1)^2}{x^3}} \\ = \displaystyle \log{( \sqrt{x^3+1} +1 )}-\frac{3}{2}\log{x} \)
よって
\(\displaystyle g’(x)=\frac{ \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} }{ \sqrt{x^3+1}+1} - \frac{3}{2x} \\ = \displaystyle \frac{3}{2} \left( \frac{x^2}{x^3+1+\sqrt{x^3+1}} -\frac{1}{x} \right) \\ = \displaystyle \frac{3}{2} \cdot \frac{-1-\sqrt{x^3+1}}{x^4+x^2+x\sqrt{x^3+1}} \\ = \displaystyle -\frac{3}{2x \sqrt{x^3+1}} \)

(2)
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_2^n -\frac{2}{3}g’(x) dx \\ = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left[ -\frac{2}{3}g(x) \right]_2^n \\ = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \frac{2}{3}g(2)- \frac{2}{3}g(n) \right) \)
ここで
\(\displaystyle g(2)=\frac{1}{2}\log{\frac{4}{2}}=\frac{1}{2}\log{2} \)
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} g(n) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2} \log{\frac{\sqrt{n^3+1}+1}{\sqrt{n^3+1}-1}} \\ = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2} \log{\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}} + \frac{1}{n\sqrt{n}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^3}} - \frac{1}{n\sqrt{n}}}} = \frac{1}{2}\log{1}=0 \)
なので求める極限は
\(\displaystyle \frac{1}{3}\log{2} \)

正解者：0名