今週の問題　問130　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問130の答えを発表します。

問130

aとbは異なる正の実数とする。
$\displaystyle \tan^{-1}{\frac{a}{b}} + \tan^{-1}{\frac{a+b}{a-b}} $
の値を求めよ。ただし$ \tan^{-1}{x} $は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} $と$\displaystyle \frac{\pi}{2} $の間の値をとるものとする。

答え

$\displaystyle \tan^{-1}{\frac{a}{b}}=\alpha , \tan^{-1}{\frac{a+b}{a-b}} =\beta $とおく。
つまり，$\displaystyle \tan{\alpha}=\frac{a}{b} , \tan{\beta}=\frac{a+b}{a-b} $
$\displaystyle \tan{(\alpha+\beta)} = \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \\ = \displaystyle \frac{\frac{a}{b} + \frac{a+b}{a-b}}{1-\frac{a}{b}\cdot \frac{a+b}{a-b}} \\ =\displaystyle \frac{a(a-b)+b(a+b)}{b(a-b)-a(a+b)} \\ =\displaystyle \frac{a^2+b^2}{-(a^2+b^2)}=-1 $
よって
$\alpha+\beta= \cdots , -\frac{5}{4}\pi , -\frac{1}{4}\pi , \frac{3}{4}\pi , \frac{7}{4}\pi ,\cdots $
のどれかである。

a>bのとき
$\displaystyle \frac{a}{b}>1 $なので$\displaystyle \frac{\pi}{4} < \alpha<\frac{\pi}{2} $
$\displaystyle \frac{a+b}{a-b}>0 $なので$\displaystyle 0 < \beta<\frac{\pi}{2} $
よって$\displaystyle \frac{\pi}{4} < \alpha+\beta < \pi $となるから
$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{3}{4}\pi $

a<bのとき
$\displaystyle 0<\frac{a}{b}<1 $なので$\displaystyle 0 < \alpha<\frac{\pi}{4} $
$\displaystyle \frac{a+b}{a-b}<0 $なので$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \beta<0 $
よって$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \alpha+\beta < \frac{\pi}{4} $となるから
$\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{1}{4}\pi $

正解者：0名

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