今週の問題　問13　答え

上野竜生です。問13の答えを発表します。

問13

答え

楕円は焦点からの距離の和が等しいことを使う。まずはその距離を求める。

この楕円は原点を通るから焦点からの距離の和は\( \sqrt{2}+7\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)

よって

\( \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}=8\sqrt{2} \)

左辺第2項を右辺に移項し，両辺を2乗すると

\( (x+1)^2+(y-1)^2=128-16\sqrt{2}\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}+(x-7)^2+(y-7)^2 \)

√の項だけを左辺に，残りは右辺に移項すると

\( 16\sqrt{2}\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}
\\=128+x^2-14x+49+y^2-14y+49-x^2-2x-1-y^2+2y-1
\\=-16x-12y+224 \)

両辺16で割ると

\( \sqrt{2}\sqrt{(x-7)^2+(y-7)^2}=-x-\frac{3}{4}y+14 \)

両辺2乗すると

\( 2(x-7)^2+2(y-7)^2
\\=2x^2-28x+98+2y^2-28y+98
\\=x^2+\frac{9}{16}y^2+196+\frac{3}{2}xy-28x-21y\)

整理すると\( x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{23}{16}y^2-7y=0 \)

係数を整数にするために16倍して答えは

\( 16x^2-24xy+23y^2-112y=0\)

αを\( \sin{\alpha}=\frac{3}{5} , \cos{\alpha}=\frac{4}{5} ,0<\alpha<\pi\)を満たす実数とする。

次の手順で求める。
1.　x軸方向に-3,y軸方向に-4平行移動させる。
2.　-α回転させる（これで標準形）
3.　標準形の式を求める。
4.　α回転させる。
5.　x軸方向に3,y軸方向に4平行移動させる。

1.　まずx軸方向に-3,y軸方向に-4平行移動させると
焦点は(-4,-3),(4,3)　通る点は(-3,-4)

2.　-α回転させると焦点は(±5,0)
通る点を計算するために複素数で考える。-3-4iを，原点中心に-α回転させると
\( (-3-4i)(\cos{(-\alpha)}+i\sin{(-\alpha)})\\=(-3-4i)(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i)\\=-\frac{12}{5}-\frac{16}{5}i+\frac{9}{5}i-\frac{12}{5}\\=-\frac{24}{5}-\frac{7}{5}i \)
なので通る点の座標は\( (-\frac{24}{5},-\frac{7}{5}) \)

3.　(±5,0)を焦点とし，\( (-\frac{24}{5},-\frac{7}{5})\)を通る楕円の式を\( \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)とおくと
焦点の条件から\( a^2-b^2=25 \)
通る点の条件から\(\displaystyle \frac{576}{a^2}+\frac{49}{a^2-25}=25 \) （∵b²=a²-25）
これを解く。a²=Xとおき，分母を払うと
\( 576(X-25)+49X=25X(X-25)
\\ 625X-14400=25X^2-625X
\\ 25X^2-1250X+14400=0
\\ X^2-50X+576=(X-32)(X-18)=0 \)
X=a²≧25よりX=32　よって\( a=4\sqrt{2} , b=\sqrt{7} \)

4.5.　標準形で表された楕円上の点は\( (4\sqrt{2} \cos{\theta} , \sqrt{7}\sin{\theta} ) \)と表される。これをα回転移動し，x軸方向に3,y軸方向に4平行移動させると
\( (4\sqrt{2}\cos{\theta}+\sqrt{7}\sin{\theta}i)(\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i)+(3+4i)
\\=\frac{16}{5}\sqrt{2}\cos{\theta}+\frac{4\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}i+\frac{12\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}i-\frac{3\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}+3+4i \)

よって求める楕円は媒介変数θを用いて
\( X=\frac{16\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}-\frac{3\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}+3 \\
Y=\frac{12\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}+\frac{4\sqrt{7}}{5}\sin{\theta}+4 \)
とかける。ここからθを消去すればいい。

\( 4(X-3)=\frac{64\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}-\frac{12\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \\
3(Y-4)=\frac{36\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}+\frac{12\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \)
の両辺を加えると\( 4X+3Y-24=20\sqrt{2}\cos{\theta} \)

\( 4(Y-4)=\frac{48\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}+\frac{16\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \\
3(X-3)=\frac{48\sqrt{2}}{5}\cos{\theta}-\frac{9\sqrt{7}}{5}\sin{\theta} \)
の両辺を引くと\( 4Y-3X-7=5\sqrt{7}\sin{\theta} \)

よって5600(sin²θ+cos²θ)=5600を使うと
\( 7(4X+3Y-24)^2+32(4Y-3X-7)^2=5600 \\
7(16X^2+9Y^2+576+24XY-144Y-192X)+32(16Y^2+9X^2+49-24XY+42X-56Y)=5600 \\
400X^2-600XY+575Y^2-2800Y+5600=5600 \)

よって25で割ると答えは

\( 16x^2-24xy+23y^2-112y=0 \)

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