今週の問題　問109　答え｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。問109の答えを発表します。

問109　★

四面体OABCがある。OA=OB=OC=1,$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{2} , \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC}=\frac{1}{3} , \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA}=- \frac{1}{6} $のとき，四面体OABCの体積を求めよ。

答え

座標を定めればよい。Oを原点，Aをx軸上，Bをxy平面上にあるとしても一般性を失わない。つまりOB=1にも注意すると
O(0,0,0),A(1,0,0),B(cosθ,sinθ,0),C(x,y,z)（sinθ＞0,z＞0）とおいても一般性を失わない。
内積の条件から
$\cos{\theta}=\frac{1}{2} $・・・①
$x\cos{\theta}+y\sin{\theta}=\frac{1}{3} $・・・②
$ x=-\frac{1}{6} $・・・③
OC=1の条件から
$ x^2+y^2+z^2=1 $・・・④
①よりBの座標は$\displaystyle \left(\frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} ,0\right)$
とわかるのでそれと③を②に代入すると
$ -\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3} }{2}y= \frac{1}{3} $
これを解くと$ \displaystyle y=\frac{5\sqrt{3} }{18} $
これを④に代入すると
$\displaystyle \frac{1}{36}+\frac{25}{108}+z^2=1 $
よって$ \displaystyle z= \sqrt{\frac{80}{108}}=\sqrt{\frac{60}{81}}=\frac{2\sqrt{15} }{9} $
よって体積は底面をOABとするとOAB=$\frac{1}{2}\sin{\theta} $で，このときの高さはzだから
$\displaystyle \frac{1}{6}z\sin{\theta}= \frac{1}{6} \cdot \frac{2\sqrt{15}}{9} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{18} $