ベクトルの関係式が与えられたときの軌跡の求め方｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。今回はベクトルの関係式が与えられたときの軌跡の求め方を紹介します。ベクトル方程式まで求めた後それが何の図形を表すかを答えるにはある程度の知識があるほうがいいです。しかし過去問を検索しましたがあまり出題されていないようなので暗記するほどでもないと思います。

問題

△ABCがある。次の式を満たすPはどのような図形を描くか。
(1)$ |\vec{PA}+\vec{PB}|=|\vec{PC}| $
(2)$ (\vec{PA})\cdot (\vec{PB}) = |\vec{PC}|^2-|\vec{AC}|^2 $

答え(1)$ |\vec{PA}+\vec{PB}|=|\vec{PC}| $
始点をCに統一すると
$ |\vec{CA}-\vec{CP}+\vec{CB}-\vec{CP}|=|\vec{CP}| $
$\displaystyle 2| \vec{CP}-\frac{\vec{CA}+\vec{CB}}{2}|= |\vec{CP}| $
ABの中点をMとすると
$2|\vec{CP}-\vec{CM}|=|\vec{CP}| $
よって求める軌跡は「MCを1:2に内分する点」と「MCを1:2に外分する点」を直径とする円。
$ベクトルの関係式１$

最後が理解できない人はアポロニウスの円を復習しておきましょう。

(2)始点をCに統一すると

$ (\vec{CA}-\vec{CP})\cdot (\vec{CB}-\vec{CP}) = |\vec{CP}|^2-|\vec{CA}|^2 $

整理する

$ \vec{CA}\cdot \vec{CB}- \vec{CA}\cdot \vec{CP}-\vec{CB}\cdot \vec{CP}=-\vec{CA}\cdot \vec{CA} $

$ (\vec{CA}+\vec{CB})\cdot \vec{CP}= \vec{CA}\cdot (\vec{CA}+\vec{CB}) $
$ (\vec{CA}+\vec{CB}) \cdot (\vec{CP}-\vec{CA})=0 $
よってABの中点をMとすると$\vec{CM}\cdot \vec{AP}=0 $
よって求める軌跡はAを通る、CMに垂直な直線。
$ベクトルの関係式２$