常に成り立つ2次不等式の条件

答えa=0のとき1次不等式6x>0は常には成り立たないので不適。
a<0のとき上に凸の放物線なので十分大きなxでは\( ax^2+6x+a \)が負になる。
（具体的に見つけるとより安心です。x=0のとき\( ax^2+6x+a=a<0 \)となりますね。）
a>0のとき\( y=ax^2+6x+a >0 \)が常に成り立つということはこの放物線とx軸が交わらないということ，つまりこの2次式の判別式が負であることである。よって判別式をDとすると
D/4\(=9-a^2<0\)
∴a<-3またはa>3
a>0よりa>3

答え\(f(x)=-x^2+4ax-3\)とおいて0≦x≦3でのf(x)の最大値<0となればよい
\( -x^2+4ax-3=-(x-2a)^2+(4a^2-3) \)なので
2a>3のとき最大値はf(3)=12a-12　∴a<1となるが2a>3を満たさないので不適。
0≦2a≦3のとき最大値はf(2a)=4a²-3　∴\( 0\leq a <\frac{\sqrt{3}}{2} \)
a<0のとき最大値はf(0)=-3　∴a<0
以上をまとめると\( a<\frac{\sqrt{3}}{2}\)

答え【解法１】判別式の意味をしっかり理解する
すべての実数xに対して
\( x^2+2(ay+2)x+(y^2+4y+6) \geq 0\)・・・①が成り立つから
xについての2次式（①の左辺）の判別式をD₁とするとD₁≦0
D₁/4=\( (ay+2)^2 - (y^2+4y+6)\)
\( = (a^2-1)y^2 +2(2a-2)y -2 \leq 0 \)・・・②
②がすべてのyで成り立つ条件を求める。
a=±1のとき②は1次式であることに注意する。
a=1のとき-2≦0は成立するので適。
a=-1のとき-8y-2≦0は常には成立しないので不適。
a≠±1のとき\(a^2-1<0\)かつ②の左辺の判別式をD₂とするとD₂≦0
D₂/4 \(= (2a-2)^2 +2(a^2-1)\)
\( = 6a^2-8a+2=2(3a-1)(a-1) \leq 0\)
よって\( \frac{1}{3} \leq a \leq 1 \)
\(a^2-1<0\)より\(\frac{1}{3}\leq a <1 \)
a=±1のときの結果とあわせると答えは\( \frac{1}{3} \leq a \leq 1 \)
【解法２】平方完成
問題の式の左辺は
\( x^2+2(ay+2)x+(y^2+4y+6) \\ = (x+ay+2)^2+(1-a^2)y^2 -2(2a-2)y +2 \\ = (x+ay+2)^2 + (1-a^2) \left(y+\frac{2}{(1+a)} \right)^2 +2-\frac{4(1-a)}{1+a}\)
ただし最後の変形はa≠±1のとき。
\( 1-a^2 <0 \)のときはyを十分大きくしてx+ay+2=0となるようなxをとれば0より小さくなるので不適。\(1-a^2>0\)つまり-1<a<1のときを考える。
このときはx+ay+2=0かつ\( y+\frac{2}{1+a}=0 \)のとき最小値\( 2-\frac{4(1-a)}{1+a} \)をとるからこれが0以上であればよい。
\( \displaystyle 2-\frac{4(1-a)}{1+a}=\frac{6a-2}{1+a} \geq 0 \)より
\( \frac{1}{3} \leq a <1 \)
a=1のとき問題の式の左辺は
\( (x+y+2)^2 +2 \geq 0 \)となり成立する。
a=-1のとき問題の式の左辺は
\( (x-y+2)^2 +8y +2 \)となるのでたとえばy=-1,x=-3のとき成立しなくなり不適
よって答えは\( \frac{1}{3} \leq a \leq 1 \)

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