多変数関数の解析の基本～まずはここから～

答えx+y=\( \frac{\pi}{2} \)より\(y=\frac{\pi}{2}-x\)を代入して

\( \sin{x}+\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}\)

よって\(\sin{x}+\sin{y}\leq \sqrt{2}\)が成立。

x=y=\( \frac{\pi}{4} \)とすると等号が成立するので最大値は\( \sqrt{2}\)

答えz=π-x-yを代入すると

sinx+siny+sin(π-x-y)
=sinx+siny+sin(x+y) (=f(x,y)とおく)

これをxのみの関数とみて微分すると

cosx+cos(x+y)

cosx+cos(x+y)=0，つまりcosx=-cos(x+y)を解くと

x=π-(x+y)，つまり\(x=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}\)　（∵\(0\leq x \leq \pi\)）

この点の前後でcosx+cos(x+y)の符号は正から負に変化するので極大である。

f(x,y)の式に\(x=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}\)を代入すると

\( \sin{(\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2})}+\sin{y}+\sin{(\frac{\pi}{2}+\frac{y}{2})} \\
=\cos{\frac{y}{2}}+\sin{y}+\cos{\frac{y}{2}}\\
=\sin{y}+2\cos{\frac{y}{2}}\) (=g(y)とおく)

g(y)の最大値を求める。

\(g'(y)=\cos{y}-\sin{\frac{y}{2}}\\
=1-2\sin^2{\frac{y}{2}}-\sin{\frac{y}{2}}\\
=-(2\sin{\frac{y}{2}}-1)(\sin{\frac{y}{2}}+1)\)

\( \sin{\frac{y}{2}}=\frac{1}{2},-1 \)

\(0 \leq \frac{y}{2} \leq \frac{\pi}{2}\)より\(\sin{\frac{y}{2}}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{y}{2}=\frac{\pi}{6} \)より\(y=\frac{\pi}{3}\)

この点の前後でg'(y)の符号は正から負に変わるから最大値は\(g(\frac{\pi}{3})=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

（このとき，\(x=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}=\frac{\pi}{3},z=\pi-x-y=\frac{\pi}{3}\)）

答え(途中まで)y²=2-x²-xを代入すると

2x²-7x+(2-x²-x)
=x²-8x+2

=(x-4)²-14

答えyは実数だからy²=2-x²-x≧0

これを解くと-2≦x≦1

この範囲で(x-4)²-14の最小値を求めればよい。

よってx=1（,y=0)のとき最小値-5

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました