多変数関数の解析の基本～まずはここから～

答えx+y=$\frac{\pi}{2}$より$y=\frac{\pi}{2}-x$を代入して

$\sin{x}+\sin{(\frac{\pi}{2}-x)}=\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}$

よって$\sin{x}+\sin{y}\leq \sqrt{2}$が成立。

x=y=$\frac{\pi}{4}$とすると等号が成立するので最大値は$\sqrt{2}$

答えz=π-x-yを代入すると

sinx+siny+sin(π-x-y)
=sinx+siny+sin(x+y) (=f(x,y)とおく)

これをxのみの関数とみて微分すると

cosx+cos(x+y)

cosx+cos(x+y)=0，つまりcosx=-cos(x+y)を解くと

x=π-(x+y)，つまり$x=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}$　（∵$0\leq x \leq \pi$）

この点の前後でcosx+cos(x+y)の符号は正から負に変化するので極大である。

f(x,y)の式に$x=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}$を代入すると

$\sin{(\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2})}+\sin{y}+\sin{(\frac{\pi}{2}+\frac{y}{2})} \\ =\cos{\frac{y}{2}}+\sin{y}+\cos{\frac{y}{2}}\\ =\sin{y}+2\cos{\frac{y}{2}}$ (=g(y)とおく)

g(y)の最大値を求める。

$g'(y)=\cos{y}-\sin{\frac{y}{2}}\\ =1-2\sin^2{\frac{y}{2}}-\sin{\frac{y}{2}}\\ =-(2\sin{\frac{y}{2}}-1)(\sin{\frac{y}{2}}+1)$

$\sin{\frac{y}{2}}=\frac{1}{2},-1$

$0 \leq \frac{y}{2} \leq \frac{\pi}{2}$より$\sin{\frac{y}{2}}=\frac{1}{2}$

$\frac{y}{2}=\frac{\pi}{6}$より$y=\frac{\pi}{3}$

この点の前後でg'(y)の符号は正から負に変わるから最大値は$g(\frac{\pi}{3})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

（このとき，$x=\frac{\pi}{2}-\frac{y}{2}=\frac{\pi}{3},z=\pi-x-y=\frac{\pi}{3}$）

答え(途中まで)y²=2-x²-xを代入すると

2x²-7x+(2-x²-x)
=x²-8x+2

=(x-4)²-14

答えyは実数だからy²=2-x²-x≧0

これを解くと-2≦x≦1

この範囲で(x-4)²-14の最小値を求めればよい。

よってx=1（,y=0)のとき最小値-5

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