スターリングの公式と台形近似

上野竜生です。今回は階乗を近似する「スターリングの公式」を扱います。y=logxについて面積の近似をするのですが長方形で近似するより台形で近似したほうが精度が良くなるので台形近似のやり方と兼ねて紹介します。

例題

(1)　答え

この図より
下側の台形の面積＜積分の面積＜上側の台形の面積である。
ここで上側の台形の面積はy=logxの点(a,loga)における接線をひき，その接線上の点を結んでいる。
下側の台形の面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2}\{ \log{(a-\frac{1}{2})} +\log{(a+\frac{1}{2})} \}\{(a+\frac{1}{2})-(a-\frac{1}{2})\} = \frac{1}{2}\{ \log{(a-\frac{1}{2})} +\log{(a+\frac{1}{2})} \} \)
上側の台形の面積は接線の方程式を求めなくてもf(a)であることがわかる。
（∵接線の方程式をy=g(x)とすると面積は
\(\displaystyle \frac{1}{2} \{ g(a-\frac{1}{2}) +g(a+\frac{1}{2}) \} \{ (a+\frac{1}{2})-(a-\frac{1}{2})\} \\ \displaystyle = \frac{g(a-\frac{1}{2}) +g(a+\frac{1}{2})}{2} = g(a) \)
（y=g(x)は直線なので\( g(a-\frac{1}{2}) , g(a+\frac{1}{2}) \)の中点はg(a) ）

(2)　答え

(1)の式の右側の部分にa=2,3,・・・,n-1を代入すると
\(\displaystyle \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{5}{2}} \log{x}dx < \log{2} \)
\(\displaystyle \int_{\frac{5}{2}}^{\frac{7}{2}} \log{x}dx < \log{3} \)
・・・
\(\displaystyle \int_{n-\frac{3}{2}}^{n-\frac{1}{2}} \log{x}dx < \log{(n-1)} \)
辺々加えるとlog1=0より
\(\displaystyle \int_{\frac{3}{2}}^{n-\frac{1}{2}} \log{x}dx < \sum_{k=1}^{n-1} \log{k} \)
またlogxは単調増加だから
\(\displaystyle \int_{n-\frac{1}{2}}^n \log{x}dx < \int_{n-\frac{1}{2}}^n \log{n}dx = \frac{1}{2}\log{n} \)
これらを加えると示すべき式の左側が得られる。

(1)の式の左側の部分に\(a=\frac{3}{2},\frac{5}{2},\cdots , n-\frac{1}{2} \)を代入すると
\(\displaystyle \frac{1}{2}\{ \log{1} +\log{2} \} < \int_{1}^{2} \log{x}dx\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\{ \log{2} +\log{3} \} < \int_{2}^{3} \log{x}dx\)
・・・
\(\displaystyle \frac{1}{2}\{ \log{(n-1)} +\log{n} \} < \int_{n-1}^{n} \log{x}dx\)
log1=0に注意して辺々加えると
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \log{k} + \frac{1}{2}\log{n} < \int_1^n \log{x}dx \)
となるから示すべき式の右側が得られる。

(3)　答え

実際に積分を実行すると
\(\displaystyle n\log{n}-n-\frac{3}{2}\log{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}<\log{(n!)}-\frac{1}{2}\log{n}<n\log{n}-n+1 \)・・・(★)
各辺に\(\displaystyle n-n\log{n}+\frac{1}{2}\log{n} \)を加えると
\(\displaystyle \frac{1}{2}\log{n}-\frac{3}{2}\log{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}<n-n\log{n}+\log{(n!)}<\frac{1}{2}\log{n}+1 \)
各辺をlognで割ると
\(\displaystyle \frac{1}{2}+ \frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\log{\frac{3}{2}}}{\log{n}}<\frac{n+\log{(n!)}-\log{n^n} }{\log{n}}<\frac{1}{2}+\frac{1}{\log{n}} \)
左辺と右辺はn→∞のとき\(\frac{1}{2}\)に収束するからハサミウチの原理より
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{n+\log{(n!)}-\log{n^n} }{\log{n}}=\frac{1}{2} \)

(4)　答え

(★)より
\(\displaystyle n(\log{n}-\log{e})+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\log{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}\log{n}<\log(n!)<n(\log{n}-\log{e})+1+\frac{1}{2}\log{n} \)

∴\(\displaystyle \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot e^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{3}{2})^{(\frac{3}{2})}}\cdot \sqrt{n} < n! < \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot e\sqrt{n}\)

さらに整理すると
\(\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}e^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{n}< n!<e\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n \)・・・②
\(\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{2\sqrt{6}}{9}\)に注意してn=64を代入すると
\(\displaystyle 4 e^{1.5} \left( \frac{2^6}{e} \right)^{64} < 64! < 8e\left( \frac{2^6}{e} \right)^{64} \)
常用対数をとると
\(\displaystyle \log_{10}{ \frac{2^{386}}{e^{62.5}}} < \log_{10}{64!}<\log_{10}{\frac{2^{387}}{e^{63}}}\)
与えられた不等式から
\( 386\cdot 0.3010 - 62.5\cdot 0.4342< \log_{10}{64!} < 387\cdot 0.3011 - 63\cdot 0.4341 \)
計算すると
\( 89.0485<\log_{10}{64!} < 89.1774 \)
となるので64!は90ケタの整数である。